6.1.2.Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Система m линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n имеет вид

Здесь и- заданные числа, которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами.

В матричной форме система линейных уравнений записывается в виде

А * Х = В.

В частном случае, когда число уравнений в системе (m) равно числу неизвестных (n), т.е. m=n, то решение такой системы можно найти методом обратной матрицы в виде X=A^-1 * B,

где A^-1–матрица, обратная по отношению к матрице А.

Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы. Пусть система уравнений задана матрицами: .

Требуется решить заданную систему линейных уравнений.

Решение:

Присвоим диапазону А3:B4имя (например, А) и введем в ячейки значения элементов матрицы А.

Присвоим диапазону D3:D4имя (например, В) и введем значения элементов вектора В.

Выделим область F3:F4 для помещения результата решения системы и введем в него формулу =МУМНОЖ(МОБР(А);В)(рис. 6.3).

Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>,в ячейках диапазона F3:F4 будет получен результат.

Рис. 6.3

При решении ряда задач в формулах удобно использовать ссылки на имена ячеек или диапазонов. Имя - это идентификатор. Область действия имени - вся рабочая книга.

6.2. Применение технологии операций с матрицами для решения экономических задач

6.2.1. Определение производственно-экономических показателей

Рассмотрим пример использования технологии линейных операций над матрицами на примере следующей экономической задачи.

Пусть предприятие ежесуточно выпускает четыре вида изделий, производственно-экономические показатели которых приведены в таблице:

Вид изделия, условный номер	К-во выпускаемых изделий, шт.	Расход сырья, кг/изд.	Норма времени изготовления, ч/изд.	Стоимость изделия, ден.ед/изд.
	N	P	T	Ц
1	20	5	10	30
2	50	2	5	15
3	30	7	15	45
4	40	4	8	40

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

В таблице приведенные производственно – экономические показатели можно представить в виде следующих векторов: =(20, 50, 30, 40) – вектор количества выпускаемых изделий по видам продукции;=(5,2,7,4) – вектор расхода сырья по видам продукции;=(10, 5, 15, 8) – вектор затрат времени на изготовление продукции;=(30,15,45, 20) – вектор стоимости. Тогда решение задачи будет представлять собой скалярные произведения вектора количества выпускаемой продукциина три других вектора: ежесуточный расхода сырьяSбудет вычисляться по формулеS=*, затраты рабочего времени Т – по формуле Т=*, стоимость выпускаемой продукции – Р=*.

Решение задачи приведено на рис. 6.4.

Рис. 6.4

6.2.2. Линейная модель многоотраслевой экономики Леонтьева

Известно, что рациональное функционирование многоотраслевого хозяйства предполагает соблюдение баланса между отраслями. Каждая отрасль многоотраслевого хозяйства с одной стороны является производителем определенной продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и потреблению между отдельными отраслями.

Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме балансовые соотношения имеют вид

x_i=x_i1+ x_i2+ … + x_in+ y_i, i=1, 2, …, n.

где x_i – общий объем выпускаемой продукции i–й отрасли;

x_ij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j –й отраслью при производстве объема продукции x_j;

y_i – объем продукции i–й отрасли конечного потребления (для реализации а непроизводственной сфере).

Для производства продукции j –й отрасли объемом x_i нужно использовать продукцию i –й отрасли объемом a_ij*x_i , где а_ij – постоянное число, характеризующее прямые затраты. Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики (модель Леонтьева) в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид

,

где - вектор валового выпуска;

- вектор объема продукции конечного потребления;

A - матрица коэффициентов прямых затрат.

Приведенная система уравнений может быть представлена в виде

,

где E – единичная матрица.

Если существует обратная матрица (матрица полных затрат), то существует единственное решение системы

.

Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы А:

• матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны;

• матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.

Рассмотрим пример решения макроэкономической задачи на применение модели Леонтьева.

В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями.

Отрасль	Потребление					Конечный продукт	Валовой выпуск (ден.ед)
	1	2	3	4	5
Станкостроение	15	12	24	23	16	10	100
Энергетика	10	3	35	15	7	30	100
Машиностроение	10	5	10	10	10	5	50
Автомобильная промышленность	10	5	10	5	5	15	50
Добыча и переработка углеводородов	7	15	15	3	3	50	100

Требуется найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить ее продуктивность.

В приведенной таблице в первых пяти столбцах (группа “Потребление”) содержатся значения x_ij, в последнем столбце содержатся элементы вектора валового выпуска, в предпоследнем столбце - элементы вектора объема конечного потребления.

Решение:

В диапазон ячеек рабочего листа введем числа, записанные в столбцах “Потребление” исходной таблицы.

Введем в ячейки диапазона значения элементов вектора валового выпуска X, который соответствует последнему столбцу исходной таблицы, а в диапазон.

Введем в ячейки диапазона значения элементов вектора Y- вектор конечного продукта.

Матрица коэффициентов прямых затрат А вычисляется путем деления i– того столбца матрицы “Потребление” наi– ую строку вектора Х. Это вычисление можно выполнить используя формулу А=П/Х^т, где П – матрица “Потребление”. Выделим диапазон ячеек, в котором будет размещаться матрица А и введем в него формулу деления массива “Потребление” на транспонированный вектор Х: =A4:E8/ТРАНСП(G4:G8) (рис.6.5) и нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shif>t+ <Enter>. После выполнения этой операции в выделенном диапазоне будут вычислены значения элементов матрицы коэффициентов прямых затрат А.

Просуммируем столбцы полученной матрицы А.

Вычислим значения элементов матрицы полных затрат.

Рис. 6.5

Проанализируем полученные в результате расчетов данные.

Матрица полных затрат существует, все ее элементы положительны. Следовательно первое условие продуктивности матрицы А выполняется.

Все элементы матрицы А положительные, однако в третьем и четвертом столбцах их суммы превышают значение единицы, следовательно второе условие продуктивности матрицы А не выполняется. Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат в решаемой задаче не продуктивна.