2. Перечень задач для контрольных работ
1.Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1т карамели данного вида приведены в нижеследующей таблице. В ней также указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, и прибыль от реализации 1т карамели данного вида. Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.
1а).
|
Вид сырья |
А |
В |
С |
Общее кол-во сырья |
|
Сахарный песок |
0,8 |
0,5 |
0,6 |
800 |
|
Патока |
0,4 |
0,4 |
0,3 |
600 |
|
Фруктовое пюре |
- |
0,1 |
0,1 |
120 |
|
Прибыль от реализации 1т продукции |
108 |
112 |
126 |
|
1б).
|
Вид сырья |
А |
В |
С |
Общее кол-во сырья |
|
Сахарный песок |
1,8 |
1,5 |
1,6 |
3500 |
|
Патока |
0,4 |
0,4 |
0,3 |
600 |
|
Фруктовое пюре |
- |
0,5 |
0,1 |
120 |
|
Прибыль от реализации 1т продукции |
108 |
112 |
126 |
|
1в).
|
Вид сырья |
А |
В |
С |
Общее кол-во сырья |
|
Сахарный песок |
1,8 |
0,5 |
0,6 |
800 |
|
Патока |
0,4 |
0,4 |
0,3 |
600 |
|
Фруктовое пюре |
- |
0,1 |
0,1 |
200 |
|
Прибыль от реализации 1т продукции |
108 |
112 |
126 |
|
1г).
|
Вид сырья |
А |
В |
С |
Общее кол-во сырья |
|
Сахарный песок |
1,8 |
1,5 |
0,6 |
1800 |
|
Патока |
0,4 |
0,4 |
0,3 |
600 |
|
Фруктовое пюре |
0 |
0,1 |
0,1 |
200 |
|
Прибыль от реализации 1т продукции |
108 |
112 |
126 |
|
1д).
|
Вид сырья |
А |
В |
С |
Общее кол-во сырья |
|
Сахарный песок |
1,8 |
1,5 |
1,6 |
3500 |
|
Патока |
0,4 |
0,4 |
1,3 |
1600 |
|
Фруктовое пюре |
0 |
0,5 |
0,1 |
220 |
|
Прибыль от реализации 1т продукции |
108 |
112 |
126 |
|
2. Необходимо составить план выполнения работ, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была бы минимальной.
|
|
Стоимость работ |
|
| |
|
|
работа 1 |
работа 2 |
работа 3 |
работа 4 |
|
Рабочий 1 |
1 |
4 |
6 |
3 |
|
Рабочий 2 |
9 |
10 |
7 |
9 |
|
рабочий 3 |
4 |
5 |
11 |
7 |
|
рабочий 4 |
8 |
7 |
8 |
5 |
3а). Известно, что в разных регионах цены трудовых ресурсов, сырья и т.п. могут существенно различаться. Фирме необходимо разместить четыре заказа. Любой из этих заказов может быть размещен в любом из четырёх регионов, но только целиком (т.е. нельзя один заказ разместить в двух регионах). Нельзя размещать два заказа в одном регионе.
Стоимости выполнения заказов в каждой из четырёх регионов приведены в таблице:
|
|
Заказ 1 |
Заказ 2 |
Заказ 3 |
Заказ 4 |
|
Регион 1 |
1 |
4 |
6 |
3 |
|
Регион 2 |
9 |
10 |
7 |
9 |
|
Регион 3 |
4 |
5 |
11 |
7 |
|
Регион 4 |
8 |
7 |
8 |
5 |
Найти оптимальный план размещения заказов. Определить общую стоимость размещения.
3б). Известно, что в разных регионах цены трудовых ресурсов, сырья и т.п. могут существенно различаться. Фирме необходимо разместить четыре заказа. Любой из этих заказов может быть размещен в любом из четырёх регион, но только целиком (т.е. нельзя один заказ разместить в двух регионах). Нельзя размещать два заказа в одном регионе.
Стоимости выполнения заказов в каждом из четырёх регионов приведены в таблице:
|
|
Заказ 1 |
Заказ 2 |
Заказ 3 |
Заказ 4 |
|
Регион 1 |
1 |
4 |
6 |
3 |
|
Регион 2 |
9 |
10 |
7 |
9 |
|
Регион 3 |
4 |
10 |
11 |
9 |
|
Регион 4 |
8 |
7 |
8 |
5 |
Найти оптимальный план размещения заказов. Определить общую стоимость размещения.
4а). С трех баз надо перевезти грузы в два магазина. Количество груза (в штуках) на базах – в таблице:
|
База 1 |
База 2 |
База 3 |
|
18 |
75 |
31 |
Потребность магазинов в этих грузах в таблице:
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
45 |
79 |
Стоимость перевозки единицы груза с баз в магазины – в таблице:
|
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
База 1 |
17 |
6 |
|
База 2 |
12 |
13 |
|
База 3 |
9 |
8 |
Определить, сколько груза надо перевезти с каждой базы в каждый магазин, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Примечание. Груз измеряется в штуках, следовательно, решение должно быть получено в целых числах. Для этого необходимо добавить ограничение на проектные параметры – установить, что они должны быть целыми числами (и, естественно, неотрицательными).
4б). С трех баз надо перевезти грузы в два магазина. Количество груза (в штуках) на базах – в таблице:
|
База 1 |
База 2 |
База 3 |
|
18 |
75 |
31 |
Потребность магазинов в этих грузах в таблице:
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
45 |
79 |
Стоимость перевозки единицы груза с баз в магазины – в таблице:
|
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
База 1 |
27 |
45 |
|
База 2 |
12 |
10 |
|
База 3 |
3 |
8 |
Определить, сколько груза надо перевезти с каждой базы в каждый магазин, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Примечание. Груз измеряется в штуках, следовательно, решение должно быть получено в целых числах. Для этого необходимо добавить ограничение на проектные параметры – установить, что они должны быть целыми числами (и, естественно, неотрицательными).
4в). С трех баз надо перевезти грузы в два магазина. Количество груза (в штуках) на базах – в таблице:
|
База 1 |
База 2 |
База 3 |
|
18 |
75 |
31 |
Потребность магазинов в этих грузах в таблице:
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
45 |
79 |
Стоимость перевозки единицы груза с баз в магазины – в таблице:
|
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
База 1 |
27 |
45 |
|
База 2 |
12 |
10 |
|
База 3 |
10 |
8 |
Определить, сколько груза надо перевезти с каждой базы в каждый магазин, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Примечание. Груз измеряется в штуках, следовательно, решение должно быть получено в целых числах. Для этого необходимо добавить ограничение на проектные параметры – установить, что они должны быть целыми числами (и, естественно, неотрицательными).
4г). С трех баз надо перевезти грузы в два магазина. Количество груза (в штуках) на базах – в таблице:
|
База 1 |
База 2 |
База 3 |
|
180 |
120 |
310 |
Потребность магазинов в этих грузах в таблице:
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
45 |
79 |
Стоимость перевозки единицы груза с баз в магазины – в таблице:
|
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
База 1 |
17 |
6 |
|
База 2 |
10 |
13 |
|
База 3 |
9 |
8 |
Определить, сколько груза надо перевезти с каждой базы в каждый магазин, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Примечание. Груз измеряется в штуках, следовательно, решение должно быть получено в целых числах. Для этого необходимо добавить ограничение на проектные параметры – установить, что они должны быть целыми числами (и, естественно, неотрицательными).
4д). С трех баз надо перевезти грузы в два магазина. Количество груза (в штуках) на базах – в таблице:
|
База 1 |
База 2 |
База 3 |
|
18 |
75 |
31 |
Потребность магазинов в этих грузах в таблице:
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
45 |
79 |
Стоимость перевозки единицы груза с баз в магазины – в таблице:
|
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
База 1 |
27 |
45 |
|
База 2 |
12 |
10 |
|
База 3 |
5 |
2 |
Определить, сколько груза надо перевезти с каждой базы в каждый магазин, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Примечание. Груз измеряется в штуках, следовательно, решение должно быть получено в целых числах. Для этого необходимо добавить ограничение на проектные параметры – установить, что они должны быть целыми числами (и, естественно, неотрицательными).
4е). С трех баз надо перевезти грузы в два магазина. Количество груза (в штуках) на базах – в таблице:
|
База 1 |
База 2 |
База 3 |
|
180 |
750 |
310 |
Потребность магазинов в этих грузах в таблице:
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
45 |
79 |
Стоимость перевозки единицы груза с баз в магазины – в таблице:
|
|
Магазин 1 |
Магазин 2 |
|
База 1 |
27 |
45 |
|
База 2 |
12 |
10 |
|
База 3 |
10 |
8 |
Определить, сколько груза надо перевезти с каждой базы в каждый магазин, чтобы стоимость перевозки была минимальной.
Примечание. Груз измеряется в штуках, следовательно, решение должно быть получено в целых числах. Для этого необходимо добавить ограничение на проектные параметры – установить, что они должны быть целыми числами (и, естественно, неотрицательными).
5. Задана следующая экономическая ситуация. Завод выпускает изделия двух типов А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в таблице
|
Изделия |
Сырье | |||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
А |
2 |
1 |
0 |
2 |
|
В |
3 |
0 |
1 |
1 |
|
Запасы сырья |
21 |
4 |
6 |
10 |
6. Выпуск изделия А приносит 3 денежные единицы, В - 2 денежные единицы. Составить план производства, обеспечивающий максимальную прибыль:
а) составьте математическую модель задачи;
б) поясните смысл целевой функции и ограничении
Решение:
а) Математическая модель
2x1+3x2 <=21
x1 <=4
x2+ <=6
2x1+ x2 <=10
x1 >=0
x2 >=0
б) Суммарный расход каждого вида сырья на весь выпуск не должен превышать заданного ограничения.
Валовая реализация (сумма объемов реализации по каждому виду продукции в денежном выражении) должна стремиться при заданных условиях к максимуму.
7. Фирма производит два вида мороженого - сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг готового продукта и их суточные запасы приведены в таблице.
|
Исходный продукт |
Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого |
Запас, кг | |
|
Сливочное |
Шоколадное | ||
|
Молоко |
0,8 |
0,5 |
400 |
|
Наполнители |
0,4 |
0,8 |
365 |
Суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того известно, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного – 14 ден. ед. Требуется определить в каком количестве мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
8. На складах А1, А2, А3 имеются запасы товаров в количествах 90, 400 и 110 тонн, соответственно. Грузополучатели В1, В2, В3 должны получить эти товары в количествах 130, 300, 160 тонн, соответственно. Требуется найти такой вариант перевозки грузов, при котором сумма затрат на перевозки будет минимальной. Расходы по перевозке 1 тонны грузов в условных единицах приведены в таблице.
|
Грузополучатели |
Склад А1 |
Склад А2 |
Склад 3 |
|
В1 |
2 |
5 |
2 |
|
В2 |
4 |
1 |
5 |
|
В3 |
3 |
6 |
8 |
9. Решите задачи в электронной таблице.
10. Решите задачи в электронной таблице.
11. Фирма выпускает изделия двух видов: А и В. Для выпуска этих изделий используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы таблицей.
|
Изделие |
Сырье | |||
|
1 |
2 |
3 |
4 | |
|
А |
2 |
1 |
0 |
2 |
|
В |
3 |
0 |
1 |
1 |
|
Запас сырья |
21 |
4 |
6 |
10 |
Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300 ден. ед., а одного изделия типа В – 200 ден. ед.
Составьте план производства, обеспечивающей фирме наибольший доход.
12. Требуется спланировать перевозку строительных материалов с трех заводов к четырем строительным площадкам по железной дороге. В течение каждого квартала на четырех площадках требуется, соответственно, 5, 10, 20, 15 вагонов строительных материалов. Возможности заводов, соответственно, равны 10, 15 и 25 вагонов в квартал. В таблице приведены стоимости перевозки вагонов (в ден. ед.) от различных заводов к различным строительным площадкам.
|
Завод и его возможности |
Потребности строительных площадок | ||||
|
Ст-пл1 |
Ст-пл2 |
Ст-пл3 |
Ст-пл4 | ||
|
5 |
10 |
20 |
15 | ||
|
1 |
10 |
8 |
3 |
5 |
2 |
|
2 |
15 |
4 |
1 |
6 |
4 |
|
3 |
25 |
1 |
9 |
4 |
3 |
13. Предположим, что мы решили производить несколько видов конфет: "A", "B" и "C". Известно, что реализация 10-и килограмм конфет "А" дает прибыль 9 руб., "В" - 10 руб. и "С" - 16 руб. Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной. Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет каждого вида приведены ниже.
|
Сырье |
Нормы расхода сырья |
Запас сырья | ||
|
|
А |
В |
С |
|
|
Какао |
18 |
15 |
12 |
360 |
|
Сахар |
6 |
4 |
8 |
192 |
|
Наполнитель |
5 |
3 |
3 |
180 |
|
Прибыль |
9 |
10 |
16 |
|
14.Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров от предприятий-производителейна торговые склады. При этом необходимо учесть возможности поставок каждого из производителей при максимальном удовлетворении запросов потребителей.
|
|
|
Число перевозок от завода x к складу y: |
| |||
|
Заводы: |
Всего |
Уфа |
Омск |
Воронеж |
Курск |
Москва |
|
МАЗ |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
ЛАЗ |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
ВАЗ |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
--- |
--- |
--- |
--- |
--- |
|
Итого: |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потребности складов --> |
180 |
80 |
200 |
160 |
220 |
|
Заводы: |
Поставки |
Затраты на перевозку от завода x к складу y: | ||||
|
МАЗ |
310 |
10 |
8 |
6 |
5 |
4 |
|
ЛАЗ |
260 |
6 |
5 |
4 |
3 |
6 |
|
ВАЗ |
280 |
3 |
4 |
5 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевозка: |
83р. |
19р. |
17р. |
15р. |
13р. |
19р. |
В этой модели представлена задача доставки товаров с трех заводов на пять региональных складов. Товары могут доставляться с любого завода на любой склад, однако, очевидно, что стоимость доставки на большее расстояние будет большей. Требуется определить объемы перевозок между каждым заводом и складом, в соответствии с потребностями складов и производственными заводов, при которых транспортные расходы минимальны.
15. Ваше предприятие выпускает телевизоры, стерео - и акустические системы, используя общий склад комплектующих. В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий. Следует учитывать уменьшение удельной прибыли при увеличении объемов производства в связи с дополнительными затратами на сбыт.
|
|
|
Количество-> |
100 |
|
Наим. изд. |
Склад |
Использ. |
|
|
Шасси |
450 |
200 |
1 |
|
Кинескоп |
250 |
100 |
1 |
|
Динамик |
800 |
500 |
2 |
|
Блок пит. |
450 |
200 |
1 |
|
Элек. плата |
600 |
400 |
2 |
|
|
|
По видам изделий |
4 732р. |
|
|
|
|
Прибыль: |
|
|
|
Всего |
10 095р. |
Эта модель включает данные по нескольким изделиям, в которых использованы общие комплектующие, каждому из которых соответствует своя норма прибыли. Запас комплектующих ограничен и задача сводится к определению количества каждого вида изделий для получения наибольшей прибыли.
16а). Для работников с пятидневной рабочей неделей и двумя выходными подряд требуется подобрать график работы, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания при наименьших затратах на оплату труда. Задачей данной модели является составление графика занятости, обеспечивающего удовлетворение потребности в персонале при минимальных затратах на оплату труда. В этом примере ставки одинаковы, поэтому снижение числа ежедневно занятых сотрудников приводит к уменьшению затрат на персонал.
Каждый сотрудник работает пять дней подряд с двумя выходными.
|
Гра-фик |
Вых. дни |
Работ- ники |
Вс |
Пн |
Вт |
Ср |
Чт |
Пт |
Сб | |||||||
|
A |
Вос., пон. |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 | |||||||
|
Б |
Пон., Вт. |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 | |||||||
|
В |
Вт., среда |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 | |||||||
|
Г |
Ср., чет. |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 | |||||||
|
Д |
Чет., пят. |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 | |||||||
|
Е |
Пят., суб. |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 | |||||||
|
Ж |
Суб., вос. |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
Всего: |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
Всего требуется: |
|
23 |
18 |
14 |
14 |
16 |
19 |
24 | |||||||
|
|
Всего: |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
Всего тр.: |
|
22 |
17 |
13 |
14 |
15 |
18 |
24 | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
Недельная оплата работника: |
455000р. |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
Общая недельная зарпл.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
16б). График занятости персонала нашей конторы. Для работников с пятидневной рабочей неделей и двумя выходными подряд требуется подобрать график работы, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания при наименьших затратах на оплату труда.
|
График |
Вых. дни |
Работн. |
Вс |
Пн |
Вт |
Ср |
Чт |
Пт |
Сб |
|
A |
Вос., пон. |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Б |
Пон., Вт. |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
В |
Вт., ср. |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Г |
Ср., чет. |
10 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Д |
Чет., пят. |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Е |
Пят., суб. |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Ж |
Суб., вос. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего тр.: |
|
22 |
17 |
13 |
14 |
15 |
18 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Недельная оплата работника: |
5000р. |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Общ. нед. зарпл.: |
|
|
|
|
|
|
|
| |
16в). График занятости персонала нашей конторы. Для работников с пятидневной рабочей неделей и двумя выходными подряд требуется подобрать график работы, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания при наименьших затратах на оплату труда.
|
График |
Вых. дни |
Работн. |
Вс |
Пн |
Вт |
Ср |
Чт |
Пт |
Сб |
|
A |
Вос., пон. |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Б |
Пон., Вт. |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
В |
Вт., ср. |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Г |
Ср., чет. |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Д |
Чет., пят. |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Е |
Пят., суб. |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Ж |
Суб., вос. |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего тр.: |
|
25 |
20 |
15 |
14 |
17 |
23 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Недельная оплата работника: |
5500р. |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Общая недельная зарпл.: |
|
|
|
|
|
|
|
| |
17. Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров от хлебокомбинатов-производителей на хлебозаводы. При этом необходимо учесть возможности поставок каждого из производителей при максимальном удовлетворении запросов потребителей.
Тарифы перевозок:
|
|
Хлебозавод А |
Хлебозавод Б |
Хлебозавод С |
Хлебозавод Д |
Возможности хлебо- комбинатов |
|
Хлебокомбинат 1 |
8 |
1 |
9 |
7 |
110 |
|
Хлебокомбинат 2 |
4 |
6 |
2 |
12 |
190 |
|
Хлебокомбинат 3 |
3 |
5 |
8 |
9 |
90 |
|
Потребности хлебозав. |
80 |
60 |
170 |
80 |
|