23.Доверительные интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распред-я

Найдем доверит интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распределения. Укажем оценку неизвесного генерального ср квадрат отклонения δ по исправленному выборочному среднему S с надежностью j

S(1-q)<δ<S(1+q), q<1

0<δ<S(1+q), q>1,

Где q=q(n,j) и ищется по табл 4 а исправленная ср квадратич отклонение S ищется по выборке.

26. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ДИСПЕРСИЙ НОРМ. И ГЕН.СОВ-СТЕЙ. На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерении и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеивание результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Пусть ген.сов-сти Х и У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соотв-но равными n₁ и n₂, извлеченным из этих сов-стей, найдены исправленные выб.дисперсии S_x² и S_y²_. Требуется по исправленным дисп-ям и при заданном уровне значимости α(альфа) проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ген.дисп-сии рассматриваемых сов-стей равны между собой( Н₀: D(X)=D(Y) ). В качестве критерия проверки Н₀ примем отношение большей исправленной дисп-сии к меньшей.( F=Sб² / Sм² ).ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу ( Н₀: D(X)=D(Y) ) при конкурирующей гипотезе Н₁=D(X)>D(Y) надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей (F_набл=Sб² / Sм²). И по таблице критич.точек распределения по заданному уровню значимости α(альфа) и числам степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 найти критич.точку (F_набл=( α, k_1, k₂ ). Если F_набл>F_крит – нулевую гипотезу отвергают, если F_набл<F_крит – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. ПРИМЕР: По двум независ.выборкам объемов n₁=12 и n₂=15, извлеченных из нормальных ген.сов-стей Х и У, найдены исправленные выб.дисп-сии S_x²=11,41 и S_y²=6,52. При α=0,05 проверить Н₀: D(X)=D(Y) при Н₁:D(X)>D(Y). РЕШЕНИЕ: F_набл=11,41 / 6,52 =1,75 D(X)>D(Y) – Крит.область правосторонняя. По таблице 7 α=0,05, k₁=12-1=11 и k₂=15-1=14. Находим F(0.05 , 11, 14)=2,56. Т.к 1,75<2,56 – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.ПРАВИЛО 2: Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нул.гипотезу о равенстве ген.дисп-сий нормально распределенных сов-стей при конкур-щей гипотезе Н₁= D(X) ≠D(Y) надо вычислить отношение большей исправлен.дисп-сии к меньшей(F_набл=Sб² / Sм²). И по таблице крит.точек распред-ния при α/2 и числам степеней свободы k₁ и k₂ найти Крит.точку (F_крит=( α/2, k_1, k₂ ). Если F_набл<F_крит -- нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если F_набл>F_крит -- нулевую гипотезу отвергают. ПРМЕР: По двум независ.выборкам с n₁=10 и n₂=18 найдены S_x²=1,23 и S_y²=0,41 при α=0,1 проверить Н₀: D(X)=D(Y) при Н₁= D(X) ≠D(Y). РЕШЕНИЕ: F_набл=1,23 / 0,41=3. По таблице: α/2=0,1/2=0,05. F_крит=2,5. Т.к 3>2,5 , нулевую гипотезу отвергают.

27. СРАВНЕНИЕ ДВУХ СРЕДНИХ ГЕН.СОВ-СТЕЙ, ДИСПЕРСИИ КОТОРЫХ ИЗВЕСТНЫ. Пусть ген.сов-сти Х и У распределены нормально. По независ.выборкам, объемы которых m и n, извлечен-ным из этих сов-сткй, найдены выборочные средние Х и У. Требуется по выбор.средним при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ген.средние рассматр-ых сов-стей равны между собой(Н₀:М(Х)=М(У). В качестве критерия проверки нул.гипотезы примем случ.величину:

Z=(Х-У)/о(Х-У)=(Х-У)/ D(X)/n+D(X)/m

ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нул.гипотезу Н₀:М(Х)=М(У) о равенстве мат.ожиданий двух нормальных ген.сов-стей с известными дисперсиями при конкур-ей гипотезе: Н₁:М(Х)≠М(У) надо вычислять наблюдаемое значение критерия: Z_набл =(Х-У)/ D(X)/n+D(Y)/m . По таблице ф-ции Лапласа найти Крит.точку по равенству: Ф_{2 крит}=(1- α)/2 . Если | Z_набл |< Z_крит – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | Z_набл |> Z_крит – нулевую гипотезу отвергают. ПРИМЕР: По двум независ. выборкам n=60 и m=50 найдены D(X)=120 и D(Y)=100, найдены выбор.средние Х=1250 и У=1275, α=0,01. Проверить Н₀:М(Х)=М(У) при Н₁:М(Х)≠М(У). РЕШЕНИЕ: Z_набл =(1250-1275)/ 120/60+100/50= -12,5. Ф(Z_крит)=(1-0,01)/2=0,495. Z_крит=2,58. | 12,5 |>2,58 – нулев.гипотезу отвергаем.

30.Эл-ты комбинаторики.Размещ-я. Переста-новки. Сочетания.ТВ-наука о вычислении вероят-тей случ.событий.Возникла в 16в. вследствие изу-чения азартн.игр.Рассм-м эл-ты комбинаторики-раздел элем.мат-ки,изучающий вопрос кол-ва раз-лич.комбинаций,кот.можно составить при опред. условиях из бесконечн.множ-ва задан.объек-тов(х_1,х_2….х_n) Осн.правила комбинаторики: 1.правило произвед-я.Если компаненту х₁ карте-жа(х_1,х_2..х_n) можно выбрать n₁ способами,компаненту х₂ независимо от компанента х₁ выбрать n₂ спосо-бами ,компаненту х_к независимо от предыдущих компанентов выбрать n_к способом,то картеж (х₁,х_2,…х_n)можно выбрать n_1,n_2..n_k.2.правило суммы. Пусть из множ-ва А={а₁,а₂,..а_к} эл-т а₁ можно выбрать n₁ способом,а₂- n₂ способом, а_к- n_к.Тогда выбор одного из эл-тов множ-ва А а_1,а₂ или а_к можно сделать а₁₊а_2+…а_к.Картежем длины k составлен-м из эл-тов n-множ-ва Х наз-т размещением с повторе-нием из n эл-тов по k.Их число обозначают А¯^к_n= n*n …*n^к.Картежем длины k составлены из эл-тов n-множ-ва Х,у кот.все компаненты различны наз-ся размещением без повторений из эл-тов по k.Их число обознач-ся А^к_n. А^к_n= n_*(n-1)*(n-2)…(n- k+1)= n_.!/_.(n- k)!Размещением без повторений из n эл-тов по n эл-тов наз-ся перестановками из n эл-тов. Обозн-ся Р_n.Р_n= Аⁿ_n= n(n-1)…1= n! Подмнож-вом, сост-щим из k эл-тов взятые из множ-ва х наз-ся сочетаниями из n эл-тов по k и обознач-ся С^к _n. С^к _n= А^к_n/ Р_к= n !/(n- k)! k!