6.Повторение испытаний. Формула Бернули. Найвероятнейшее число появлений событий

Испытание Х_1,Х_2,…,Х_n наз-ся независимым,если исход каждого испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний.Н-р:бросание монеты,игральной кости,выборочный контроль кач-ва прод-ции.

В схеме Якоба Бернулли рассматр-ся серия состоящая из n независимых испытаний Х_1,Х_2,…,Х_n, причем каждое из этих испытаний имеет лишь 2 исхода:а)событие А наступило-успех,б)событие А не наступило-неудача

Причем вер-ть успеха при одном испытании Р(А)=р(0≤р≤1) постоянна и не зависит от номера испытания. Числа n и p наз-ся параметрами схемы Бернулли.

В рамках схемы Бернулли у заданного числа m(0≤m≤n) опр-ть вер-тьP_n(m) того, что событие А в данной серии из n числа испытаний наступит точно m раз и имеет место формула Бернулли

m

P_n(m)=C_*p^mq^n-m

ⁿ

где q-вероят-ть неудачи q=1-p

Вероят-ть P_n(m) (m=0,n) наз-ся биномиальными в связи с тем, что правая часть фор-лы Бернулли совпадает с общим членом разложения Бинома-Ньютона:

n m

(p+q)ⁿ=∑ C_*p^m_*q^n-m

^{m=0 n}

Очевидно, что сумма всех биномиальных вероят0тей равна 1.

Отметим, что верот0ти m успехов при фиксированном m сначало растут до опред-го числа m₀, а потом убывают при уменьшении m от m₀ до n.

Оредел-ие: число успехов m₀, к которому при заданном фиксированном n соотв-ет max биномиальная вероят-ть Pn(m₀) наз-ся наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов.

Отметим,что наивероятнейшее число m₀ удовлетворяет системе неравенств: n*p-q≤m₀≤n*p+p, которое имеет одно решение: m=[np+p], если число np+p-не целое

Два решения:m₀=np+p

m₀₌np+p-1, если np+p-целое

7.Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения.

Нам уже встречались случайные числа,н-р при бросании игральной кости 1,2,3,4,5,6, естественно, что элементарн события:

W₁→1

W₂→2

W₃→3

W₄→4

W₅→5

W₆→ 6

Опред-ие: числовая функция Х=Х(w) от элементарного события wЄΩ наз-ся случайной величиной. СВ будем обозначать Х,Y,Z, значения-x,y,z.

Опред-ие: СВ наз-ся дискретной, если ее значение можно записать в виде последовательности(конечной или бесконечной), уже известная нам СВ бросание игральной кости явл-ся дискретной, она принимает конечное число значений-6.

Опр-ие:соотв-ие м/у значениями СВ Х и вероят-тями этих значений наз-ют законом распределения вероят-ти СВ или законом распределения СВ.

Законом распределения СВ дискретной можно задать в виде таблице

Х	Х1	Х2	…	ХП
Р	Р1	Р2	…	РП

Отметим, что 1) в законе распределения все р_і≥0; 2)их ∑ р_і=1

_i

Для наглядности закон распределения дискретной СВ можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (х_і,р_і), которые затем последовательно соединяются отрезками. Полученную фигуру наз-ют многоугольником распределения СВ.

Рассмотрим примеры некоторых СВ:

а) равномерное распределение вероятностей СВ Х,принимающая n-равномерных значений Х₁,Х_2,...,Х_n

Х	Х1	Х2	…	Хn
P	1/n	1/n	…	1/n

Бросание игральной кости равномерно распределено.

б)биномиальное распределение вероятностей дискретной СВ Х значениями которой явл-ся число успехов в схеме Бернулли при n-испытаний

x	0	1		m	…	n
p	qn	n*p*qn-1		cmn*pm*qn-m		pn