9.Плотность распределения

Непрерывную СВ можно задать не только с помощью функции распределения,но и с помощью др функции.

Опр-ие: плотность распределения вероятностей непрерывных СВ Х наз-ют функцию f(x), которая явл-ся первой производной от F(X)

f(x)=F^′(x)

Из опр-ия следует:

Теорема1:вероятность того,что непрерывная СВ Х примет значение принадлежащее [а,в] равна определенному интегралу от плотности распределения в пределах от а до в,

в

т.е. Р(а≤х≤в)=∫f(x)dx

а

Из опред-ия плотности распределения следует, что функция решения F(x) явл-ся первообразной плотности решения f(x), т.е. ее можно находить по функции:

F(x)=∫^x_-∞f(x)dx

Рассмотрим осн св-ва плотности распределения:1.плотность решения f(x) явл-ся неотрицательной фун-ей,т.е f(x)≥0

2.несобственный интеграл от плотности решения в пределах от -∞ до +∞ равен 1,т.е

+∞ x

∫f(x)dx=lim∫f(x)dx=lim

-∞ x→+∞ -∞ x→+∞

F(x)=1

10.Математическое ожидание и его св-ва.

Мат–ое ожиданием дискретной СВ наз-ся сумма произведений всех ее значений на их вероятности и обозначается М(Х).

Если дискретная СВ Х принимает значение х_1,х_2,…,х_n с соотв-щими вероятностями р_1,р_2,…р_n, то ее мат ожидание вычисляется по форлуле:

М(Х)= х_1*р₁₊х_2*р₂₊…₊х_n*pn

Если дискретная СВ Х принимает счетное множество значений х_1,х_2,…,х_n,… с соответ-щей вероятностью р_1,р_2,…,р_n,…,то мат ожидание вычисляется по фор-ле:

∞

М(Х)= ∑ х_i*p_i причем

i=1

числовой ряд сходится обсолютно.

Счетное множество- бесконечное множ-во, кот-ое можно записать в виде бесконечной числовой последовательности.

Опре-ие: мат ожидание непрерывной СВ Х, значение которой принадлежат отрезку [а,в], наз-ся число равное определенному интегралу:

b

М(Х)=∫x f(x) dx

A

Если значение непрер-ой СВ Х принадлежит всей числовой оси, то мат ожидание вычисляется:

+∞

М(Х)=∫x f(x) dx

-∞

причем этот несобственный интеграл сходится абсолютно(т.е сущ-ет интеграл от модулей подинтегр-ой фун-ции:

+∞

∫ (хf(x)dx)

-∞

Осн св-ва мат ожидания:1. мат ожидание постоянной СВ равно самой постоянной М(С)=С

2.постоянный множитель можно выносить за знак мат ожидания М(СХ)=СМ(Х)

3.мат ожидание суммы 2-ух СВ равно сумме мат ожидания этих величин М(Х+У)=М(Х)+М(У)

4.мат ожидание произведения 2-ух независимых СВ равно произведению их мат ожиданий

М(Х*У)=М(Х)*М(У)

Теорема2 мат ожидание дискретной СВ, распределенной биномиально равно М(Х)=р*n, где n-число испытаний в схеме Бернули, р-вероятность успеха в схеме Бернулли.

11. Дисперсия и ее св-ва. Среднее квадратическое отклонение. Дисп. СВ Х наз-ся мат. ожидание квадрата отклонения этой СВ от ее мат. ожидания и обознач. Д(Х). Д(Х)=М[X- М(Х)]². Д/дискретных СВ дисп-ия вычисляется Д(Х)=(х₁-М(Х))²×р₁+(х₂-М(Х))²×р₂+…+(х_n – М(Х))²×р_n. Дисп. СВ всегда неотриц. число и чем меньше она, тем меньше рассеивание ее величины. Т3: дисп. СВ Х равна разности м/у мат. ожид. квадрата этой СВ и квадратом ее мат. ожид. Д(Х)=М(Х²)- [M(X)]². Если возможные значения непрерывной СВ принадлежат отрезку АВ, то дисп. этой величины вычисляется Д(Х)=^в_а (х- М(Х))²×f(x)dx. Если значения непрер. СВ принадлежат всей числовой оси, т.е. интервалу (-∞;+∞), то ее дисп. вычисл. с помощью несобственного интеграла Д(Х)=^-_+∞^∞ (х-М(Х))² × f(x)dx. Средним квадрат. отклонением СВ наз-ся неотриц. число G(x) . G(X)=√Д(Х). Св-ва дисп: 1. Д(С)=0, 2. Д(СХ)=С²Д(Х), 3. Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У), 4. Д(Х-У)=Д(Х)+Д(У), 5. Д(Х)=n×p×q- дисп. распределена по биноминальному закону.

12. Мода и медиана. Модой непрер. СВ Х наз. ее возможное значение, при кот. плотность распред-ия f(x) достигает мах значение М₀(Х).

Медианой М_е(Х) непрер. СВ Х наз. такое ее значение, что вер-ть того, что СВ примет значение меньше медианы равняется вер-ти того, что СВ больше медианы и равна ½. Р(Х<М_е)= Р(Х>М_е)=1/2.

13. Равнометное распределение. Бином. рапред. Непрер. СВ Х имеет равномерн. з-н распред. на [a, в], если плотность распред-ия. f(x) постояна на этом отрезке и равна 0 вне его. Можно показать,что д/СВ расперд-ой по равномер. з-ну плотность распред-ия имеет вид 0, х<а

f(x)= 1/(в-а), а≤Х≤в

0, Х>в.

А ф-ия распред-ия имеет вид 0, Х≤а

F(X)= (х-а)/(в-а), а<Х≤в

1, Х>в.

СВ распред- ая по равномер. з-ну обладает след. св-ом: вер-ти того, что значение СВ нах-ся в числовых промежутках равной длины равны.

14. нормальное распределение СВ, основные хар-ки. Непрер. СВ Х имеет нормальный з-н расперд-ия ( з-н Гаусса) с параметрами а и G², если ее плотность распред-ия имеет вид

f(x)= 1/G√2П×e ^{–((х-а)^2)/ 2(G^2)}. Нормальн. расперд-ие опр-ся 2-мя параметрами а и G², причем М(Х)=а, Д(Х)=G². Ф-ия расперд-ия норм. СВ имеет вид

F(X)=1/G√2П× ^x_-∞ e^{-((t-a)^2)/2(G^2)}dt. Ф-ию распред-ия непрер. СВ распред-ой по норм. з-ну можно выразить и ч/з ф-ию Лапласа Ф(Х) F(x)=1/2+ Ф((x-a)/G), где ф-ия Лапласа опр-ся

Ф(Х)= 1/√2П×^х₀  e ^{–(t^2)/2}dt.

Тогда вер-ть попадания значения СВ Х в отрезок [,] выч-ся Р(≤Х≤)= F()-F()= Ф((-а)/G)-

Ф(( -а)/G). Значение по спец. табл.

Т4: если СВ Х имеет норм. з-н распред-ия с параметрами а, G² , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а- 3G, a+ 3G),т.е. вер-ть Р(|x-a| <3G)= 2Ф(3)=0,9973.

15. Генеральная и выборочная сов-ти. Повторная и бесповторная выборки. Ген. сов-тью оюъектов или наблюдений наз-ся мн-во объектов или наблюдений, все эл-ты кот. подлежат изучению при стат. анализе. Ген. сов-ть м. б. конечной или бесконечной. Выборочной сов-тью или выборкой наз-ся часть объекта ген. сов-ти исп-мая д/исслед-ия. Выборка всегда конечна. Объемом сов-ти наз-ся число объектов этой сов-ти. Сущность выб. метода – по опр. части ген. сов-ти судят о св-вах сов-ти в целом. Выб. метод явл. единственно возможный, если ген. сов-ть бесконечна или выбранные объекты в р-те исслед-ия уничтожаются. Д/адекватности ген. сов-ти нужно, чтобы выборка была репрезантивна( представительна). Это обеспечивается объеиои выборки и случ. выбором ее эл-тов. Есть 2 способа образования выборки: 1.повторная выборка, при кот. отоьранный объект перед отбором следующего возвращается в ген. сов-ть. 2. безповторная , при кот. отобранный объект не возвращ-ся в ген. сов-ть.

16.Вариационный ряд выборки х₁,х₂,…х_n – это способ её записи,при кот.её элементы упорядочиваются по величине,т.е.записываются в виде неубывающей числовой послед-ти х₁≤х₂ ≤…≤х_n

Разность м\у наиб.и нимен.элементами выборки –размах выборки: ω=х_n –х_1. Наблюдаемое знач.выборки х_i – варианта. Пусть выборка х₁,х₂,…х_n ,содержит k-различных ваиантов,причем вариант х_i встречается n_i –раз.Число n_i –частота варианты x_i , а число ω_i =n_i\n ,где n – объем выборки, - относит.частота варианты x_i. Сумма всех частот равна объёму выборки: ∑ n_i =n , а сумма всех ∑ω_i =1.Статистический ряд выборки –послед-ть пар (x_i ,n_i ) или (x_i , ω_i ). Статист.ряд записывается в виде табл.:1строка –варианты, 2-частоты вариант.

17.Полигон частот –ломанная, отрезки кот.последовательно соед.точки(х₁ , n₁),(х₂ , n₂),…(х_k , n_k ).Гистограмма интервального ряда – это ступенчатая геометрическая фигура, состоящая из прямоугольникув с основанием длиной равной длине полуинтервала (a_i ,a_i+1 ) и высотой равной n_i .Эмпирическая ф-ция распределения (ф-ция распред. выборки) –это ф-ция :F^* (х)=n_х \ n ,где n_х - число вариант меньших х, n – объём выборки.Св-ва эмпирической ф-ции:1) знач.эмп.ф-циипринадлежат отрезку [0;1] 2) F^* (х) – неубывающая 3) если х₁ –наим.варианта выборки, то F^* (х) =0, х≤х₁; если х_k – наиб.варианта выборки, то х>x_k F^* (х) =1 .

18.Выборочная средняя X_В – среднее арифметическое вариант выборочной совок-ти. Если все варианты х₁,х₂,…х_n выборки объёма n различны, то X_В = (х₁ +х₂ +…+х_n )\ n .если варианты х₁,х₂,…х_k имеют частоты n₁ ,n₂ ,…,n_k ,то X_В = ( n_1*x₁ +n_2* x₂+…+n_k*x_k)\ n . Выборочная дисперсия Д_В - это среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от их выборочной средней. Если варианты х₁,х₂,…х_n -различны, то Д_В =∑( x_i – X_В)² / n. Если х₁,х₂,…х_k имеют частоты n₁ ,n₂ ,…,n_k , то Д_В =∑n_i( x_i – X_В)² / n Для вычислений более удобна Д_В = Х_В² – (Х_В)² . Можно ввести понятие Выборочное среднеквадратическое отклонение :σ_В =√ Д_В

19.Оценка называется точечной,если она опред-ся одним числом. Пусть М(Х)=а, ген-ое среднее и ген.дисперсия ген. совок.Х распределенной нармально. Ген.средняя Х_Г =(х₁+х₂+…+х_N )/ N

20.Ген.дисперсия Д_Г - это среднеарифметическое квадратов отклонений знач. ген. совок-ти от их ген.средней Х_Г: Д_Г =∑ (x_i – x_Г)² / N. Тогда в качестве точечных оценок для параметров а и σ² можно рассмотреть выборочную среднюю Х_В = ∑ n_i*x_i /n и выборочную дисперсию Д_В = σ_В² = 1/n ∑n_i (x_i –x_В)² Оценка Х_В для мат.ожидания М(Х)=а явл.несмещенной, состоятельной и эффективной, но оценка σ_В² для дисперсии Д(Х)= σ² явл. состоятельной и эффективной, но смещенной. Поэтому на практике часто используют несмещенную оценку, а именно исправленную дисперсию: S² = (n/ n-1) *Д_В.