4. Проверить правило сложения дисперсий по результативному признаку

В данной задаче результативным признаком является годовой объём продукции каждого предприятия за год.

№	Интервал	Частота fi	y'	y' * f
1	[15,37; 72,95)	11	44,16	485,76
2	[72,95; 130,53)	10	101,74	1017,4
3	[130,53; 188,11)	4	159,32	637,28
4	[188,11; 245,69)	1	216,9	216,9
5	[245,69; 303,27)	1	274,48	274,48
6	[303,27; 360,85)	1	332,06	332,06
Итого:	28	1128,66	2963,88	2963,88

Средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности:

Общая дисперсия:

Для расчета межгрупповой и средней внутригрупповой дисперсий построим ещё одну дополнительную таблицу:

Интервал	Объем продукции, y	Частота , f	Среднее по группе, ycpi	(y - ycpi)2	(ycpi-yo)2*f	(y-yo)2
	15,37			727,1112		8186,63
	23,68			348,009		6751,909
	27,83			210,395		6087,12
	34,98			54,09603		5022,557
	35,68			44,28903		4923,829
[15,37; 72,95)	49,29	11	42,335	48,37203	44375,7075	3199,034
	57,09			217,71		2377,538
	58,81			271,4256		2212,762
	59,69			301,196		2130,746
	67,24			620,259		1490,732
	69,3			727,1112		1335,903
	76,5			288,3204		861,4225
	78,06			237,7764		772,2841
	79,12			206,2096		714,4929
[72,95; 130,53)	79,93	10	93,48	183,6025	1530,169	671,8464
	92,03			2,1025		190,9924
	92,57			0,8281		176,3584
	98,99			30,3601		47,0596
	100,38			47,61		29,9209
	104,28			116,64		2,4649
	110,46			288,3204		21,2521
	135,8			589,7612		897,0025
[130,53; 188,11)	142,63	4	160,085	304,677	11765,7409	1352,768
	173,95			192,2382		4637,61
	184,37			589,7612		6165,39
[188,11; 245,69)	230,76	1	115,38	13312,54	90,8209	15602,51
[245,69; 303,27)	281,06	1	140,53	19748,68	1202,7024	30698,54
[303,27; 360,85)	360,83	1	180,415	32549,57	5559,93923	65014,8
Итого				72258,98	64525,0799	171575,5

Межгрупповая дисперсия:

, где- средняя по отдельной группе

Средняя внутригрупповая дисперсия:

Общая, межгрупповая и средняя внутригрупповая дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством:

Подставим полученные выше значения дисперсий для проверки данного правила:

=2304,45 +2580,68

≈5195,5

Ввиду некоторых округлений в середине расчёта, вполне возможны такие неточности в конце, а именно 0,03. Так что можно утверждать, что правило выполняется.

5. Для проведения парного регрессионного анализа между у и х1 построить поле корреляции, с помощью инструмента анализа данных РЕГРЕССИЯ электронного пакета Excel вывести результаты регрессионного анализа, определить параметры линейной регрессии. Проанализировать полученные итоги – значение коэффициента корреляции и коэффициента детерминации. Оценить значимость построенной модели. Для оценки адекватности модели рассчитать критерий Дарбина-Уотсона.

С Р Е Д Н Е Г О Д О В А Я Ч И С Л Е Н Н О С Т Ь П П П, Тыс. чел
	Объем продукции (млн. руб.)

Построим поле корреляции:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=3,788+0,092*X

Результаты регрессионного анализа:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,941634955
R-квадрат	0,886676388
Нормированный R-квадрат	0,882317787
Стандартная ошибка	27,34116898
Наблюдения	28

Дисперсионный анализ
	df		SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1		152073,0442	152073,0442	203,431444	8,32912E-14
Остаток	26		19436,02755	747,5395213
Итого	27		171509,0718

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-24,61086566	10,41148514	-2,363818929
Переменная X 1	9,615834413	0,674183214	14,26293953
P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
0,025841411	-46,0119939	-3,209737423	-46,0119939	-3,209737423
8,32912E-14	8,230030061	11,00163876	8,230030061	11,00163876

Отсюда следует, что регрессионная модель для данной задачи имеет следующий вид:

Нижние и верхние границы для параметров модели:

а_н= -46,0119939; а_в= -3,209737423;b_н8,230030061;b_в= 11,00163876

Интервалы варьирования параметров а и bне перекрывают нулевое значение. р-статистика свидетельствует о том, что полученные значения для параметра а меньше 0,05 – 5% уровня значимости, а параметраb– больше 5% уровня значимости. О значимости модели свидетельствует близкое к единице значение коэффициента детерминации= 0,8867 и критерий Фишера:

Проверим критерий Фишера:

;

= 276070,33; = 444738,86

= (276070,33*26)/ 444738,86= 16,14

Расчетное значение F-статистики 8,32912E-14, что меньше табличного значенияF-критерия:F=16,14

Значение коэффициента корреляции: r= 0,941634955≈ 0,94

Так как линейный коэффициент корреляции имеет положительный знак, то зависимость прямая, так как он практически равен 1, то очень тесная.

Оценим адекватность модели по критерию Дарбина-Уотсона:

d= 0,000771061

Выдвигаем гипотезу о том, что все серийные корреляции равны 0: = …= 0

Для n=28 критических значений и к=1 числу оцениваемых параметров статистика Дарбина-Уотсона:d₁= 1,33 иd₂= 1,48. Так как 4-d>d₂, нулевая гипотеза о равенстве нулю серийных корреляций принимается и делается вывод об адекватности построенной модели.

6. Для проведения множественного регрессионного анализа воспользоваться инструментом анализа данных РЕГРЕССИЯ электронного пакета Excel. Вывести итоги, проанализировать полученные показатели. Оценить значимость построенной модели. Для оценки адекватности модели рассчитать критерий Дарбина-Уотсона.

Регрессионная статистика
Множественный R		0,970134002
R-квадрат		0,941159983
Нормированный R-квадрат		0,936452781
Стандартная ошибка		20,09138796
Наблюдения		28

Дисперсионный анализ
	df		SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2		161417,475	80708,73752	199,9404541	4,17744E-16
Остаток	25		10091,59676	403,6638703
Итого	27		171509,0718

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-10,67113122	8,197729609	-1,301717882
Переменная X 1	7,389999047	0,664530866	11,12062573
Переменная X 2	0,155436549	0,029058473	5,349095645
P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
0,204880548	-27,55465957	6,212397123	-27,55465957	6,212397123
3,60521E-11	6,021373068	8,758625026	6,021373068	8,758625026
1,5144E-05	0,095589546	0,215283552	0,095589546	0,215283552

Уравнение регрессии имеет вид: Y=-10,557+7,455*X+0,142*Z

Для проверки значимости регрессионной модели выдвинем нулевую гипотезу Но: b1=b2=…=bk=0.

Статистикой критерия для проверки гипотезы Но является отношение

= 395,55

> , а это значит, что гипотеза Но не принимается и регрессионная модель значима.

Коэффициент детерминации: 0,941159983.

Оценим адекватность модели по критерию Дарбина-Уотсона:

d= 0,000833425

Выдвигаем гипотезу о том, что все серийные корреляции равны 0: = …= 0

Для n=28 критических значений и к=2 числу оцениваемых параметров статистика Дарбина-Уотсона:d₁= 1,26 иd₂= 1,56. Так как 4-d>d₂, нулевая гипотеза о равенстве нулю серийных корреляций принимается и делается вывод об адекватности построенной модели.