8. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

На финансовом рынке обращаются большое количество ценных бумаг различного вида. Эти бумаги приносят их владельцу определенный доход, который является случайной величиной с известными математическим ожиданием M_i и средним квадратическим отклонением r_i, где i – номер вида ценных бумаг, показывающим риск каждой ценной бумаги.

Портфель ценных бумаг – пакет ценных бумаг, находящийся у каждого из участников рынка.

Так как доход от каждого вида ценных бумаг – случайная величина, то доход ценных бумаг всего портфеля также случаен.

Мат. ожидание и общая дисперсия дохода всего портфеля будут следующими:

, где x_i – доля ценных бумаг i-ого вида в портфеле

, где V_ij – корреляция между доходами x_i и x_j

Пусть портфель одно из участников рынка состоит из трех видов ценных бумаг:

1. безрисковые, где доход m₀=3 ,а r₀=0

2. акции компании «А» с доходом m₁=5 , r₁=4

3. акции компании «В» с доходом m₂=9 , r₂=6

В нашей задаче безрисковые ценные бумаги – это акции государственной компании, т.е. r₀=0.

Необходимо составить портфель ценных бумаг, состоящий из ценных бумаг, несущий в себе минимальный риск.

Пусть х – доля акций компании «А», y – доля акций компании «В», а z – доля государственных акций.

Тогда общий доход портфеля составит:

mp=3*z+5*x+9*y

В данной задаче будем считать, что случайные доходы от акций А и В являются некоррелированными СВ, т.е. доход от акций A не зависит от дохода акций В. Тогда суммарная вариация общего дохода портфеля составит

D_p = 0²z² + 4²x² + 6²y²

Поскольку z, x, y являются долями, то x+y+z=1. Выразив z, получаем z=1-x-y.

Подставим z в формулу нахождения общего дохода портфеля, т.е. исключим государственные акции.

mp=3*(1-x-y)+5*x+9*y=3+2*x+6*y

Тогда математическая постановка задачи формирования портфеля минимального риска будет следующей: найти значение x и y, которые обеспечивают минимум функции

D_p = 16x² + 36y² → min

при ограничениях и условии, что суммарный доход от всех ценных бумаг не меньше некоторого фиксированного уровня:

0≤x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x+y ≤ 1

2x + 6y + 3 ≥ M_p

Сформулированная задача является задачей на условный экстремум функции 2х переменных, которую легко решить на основе метода Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа

L(x,y) = 16x² + 36y² + λ(2x + 6y + 3 - mp), где λ – неопределенный множитель

Найдем частные производные функции L:

Прировняем к 0 (ноль) полученные частные производные:

Найдем 2-ые частные производные функции L:

∆=AC – B² = 32*72 – 0² > 0 т.е. можно сделать вывод, что найденная точка является точкой экстремума. А т.к. A>0 и C>0 , то найденная точка является минимальной.

Отбираем неравенство с наименьшей верхней границей интервала, в нашем случае – это 3-е неравенство.

Построим график, отражающий минимальный риск портфеля в зависимости от фиксированного дохода

mp	3	4	5	6	7	51/7
z	1	23/30	8/15	3/10	1/15	0
x	0	1/10	1/5	3/10	2/5	3/7
y	0	2/15	4/15	6/15	8/15	4/7
	0
≈	0	0,89	1,79	2,68	3,58	3,83

Список использованной литературы:

1. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Основы прикладной математики»/Сост.: Малыхин В.И. ГУУ, М.:2002.

2. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие для студентов вузов/В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стер. – М: Высш. шк., 2004. – 404 с.:ил

3. Математические методы принятия решений в экономике. Учебник под ред. проф. Колемаева В.А. -М.: ЗАО "Финстатинформ", 1999.

21