Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Государственный университет управления»

Институт Национальной и Мировой Экономики

Кафедра прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по учебной дисциплине «Прикладная математика»

Вариант №9

Выполнила: Гаркуша П.А.

Студент ИФМ МО

Курс2

Группа2

Руководитель курсовой работы:

_____________

Москва, 2007

Содержание

3. Задача о «расшивке узких мест производства» 7

1. Линейная производственная задача

Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 3 вида ресурсов.

Технологическая матрица производства (A), запас ресурсов (B), удельная прибыль предприятия от производства и реализации каждого вида продукции (C) известны.

Требуется составить такой план производства продукции X=(x₁,x₂,x₃,x₄), реализация которого обеспечивает предприятие наибольшей прибылью.

При производстве x₁ – единиц продукции Первого вида, x₂ – единиц продукции Второго вида, x₃ – единиц продукции Третьего вида, x₄ – единиц продукции Четвёртого вида предприятие затрачивает 3x₁+2x₂+6x₃+0x₄ единиц ресурсов Первого вида.

Очевидно, что оно не должно превышать имеющийся запас ресурса Первого вида, а именно 150.

Составив аналогичные ограничения для ресурсов Второго и Третьего видов, получаем систему неравенств:

(1)

Z=60x₁+12x₂+44x₃+17x₄

В качестве критерия эффективности правомерно принять принцип максимального результата, поэтому математическая постановка задачи выглядит следующим образом: найти вектор X, обеспечивающий максимум линейной форме Z=60x₁+12x₂+44x₃+17x₄ при ограничивающих неравенствах (1) на его компоненты.

Данная задача является задачей линейного программирования. Для её решения симплексным методом проведём систему ограничений к предпочтительному виду за счёт введения в левую часть каждого ограничения по одной дополнительной неотрицательной неизвестной x₅, x₆, x₇.

Переменные x₅, x₆, x₇ по экономическому смыслу будут представлять собой остаток ресурсов Первого, Второго и Третьего видов соответственно.

Выразим функцию Z таким образом для подстановки в таблицу:

0-Z=-60x₁-12x₂-44x₃-17x₄

Решим систему симплексным методом:

Ć	Б	Н	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	α	Пояснения
0	х5	180	4	2	4	1	1	0	0	45	min(j<0)= -60 min(α)=40, x1 в базис, x6 из базиса
0	х6	160	4	0	2	2	0	1	0	40
0	х7	109	2	4	3	0	0	0	1	109/2
	Z	0 – Z	-60	-12	-44	-17	0	0	0
0	х5	20	0	2	2	-1	1	-1	0	10	min(j<0)= -14 min(α)=10, x3 в базис, x5 из базиса
60	х1	40	1	0	1/2	1/2	0	1/4	0	80
0	х7	29	0	4	2	-1	0	-1/2	1	29/2
	Z	2400 – Z	0	-12	-14	13	0	15	0
44	х3	10	0	1	1	-1/2	1/2	-1/2	0		решения оптимальны
60	х1	35	1	-1/2	0	3/4	-1/4	1/2	0
0	х7	9	0	2	0	0	-1	1/2	1
	Z	2540 – Z	0	2	0	6	7	8	0

Оптимальная производственная программа: x₁=35, x₂=0, x₃=10, x₄=0.

Остатки ресурсов: первого вида –x₅=0, второго вида –x₆=0, третьего вида – x₇=9.

Узкими местами производства, т.е. ресурсами, использующимися полностью, являются 1-й и 2-й ресурсы, x₅=0 и x₆=0 соответственно.

Среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

z = 2540 - 2х₂ - 6х₄ - 7х₅ - 8х₆ (2)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все x_j0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда x₂=0, x₄=0, x₅=0, x₆=0

Это означает, что производственная программа (2) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль z_max = 2540

Обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе, содержится в последней симплексной таблице:

Для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, следует проверить отношение Н = Q^-1 * В:

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х₂=0, х₄=0. Предположим, что продукции Второго и Четвёртого видов мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

F(x₁,x₃)=60x₁+44x₃→max

- направления наибольшего роста целевой функции F.

В точке А достигается максимальное значение функции F. Найдём её координаты:

F(22;14)=F_max=60*35+44*10=2540