5. Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

При проведении какой-либо финансовой операции возникает неопределенность и поэтому её результат невозможно предсказать заранее. Из этого можно сделать вывод, что финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможен как прибыль, так и убыток.

Чтобы оценить операцию с точки зрения её доходности и риска, будем использовать представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Даны четыре финансовые операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найти средние ожидаемые доходы M(Q_i) и риски r_i операций. Нанести точки (M(Q_i), r_i) на плоскость, найти финансовые операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы ( (Q_i)= 2M(Q_i) – r_i) найти лучшую и худшую операции.

Q1	0	4	8	32
	1/2	1/4	1/8	1/8
Q2	0	8	12	24
	1/4	1/4	1/3	1/6
Q3	0	2	4	16
	1/3	1/3	1/6	1/6
Q4	2	4	6	18
	1/2	1/4	1/8	1/8

Найдем M(Q_i) для каждой операции, показывающая средний ожидаемый доход, и - риск проведения данной операции.

M(Q₁)=0*1/2+4*1/4+8*1/8+32*1/8=6

M(Q₂)=0*1/4+8*1/4+12*1/3+24*1/6=9

M(Q₃)=0*1/3+2*1/3+4*1/6+16*1/6=4

M(Q₄)=2*1/2+4*1/4+6*1/8+18*1/8=5

Теперь нанесём точки (M(Q_i), r_i) на плоскость.

Получили 4 точки. Чем правее точка, тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Нас же интересует точка с максимальным доходом, но в то же время с минимальным риском. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (M(Q)’, r’) доминирует точку (M(Q),r) если M(Q)’=>M(Q) и r’<=r. В нашем случае 4-я операция доминирует 3-ю. Но 1-я, 2-я и 4-я операции несравнимы.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (M(Q),r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть  (Q)= 2M(Q) - r . Тогда получаем:

 (Q₁)=4,16

 (Q₂)=10,04 – max

 (Q₃)=2,46

 (Q₄)=4,88

Из расчётов видно, что 2-ая операция лучшая, а 3-я худшая.

6. Динамическая задача распределение капитальных вложений

Имеется производственное объединение, включающее в себя 4 предприятия. По плану в ближайшее время должна проводится реконструкция этих 4-х предприятий. На реконструкцию выделено 700 млн. руб. и суммы распределены между предприятиями кратно 100 млн. руб. После проведения реконструкции ожидается прирост прибыли от каждого предприятия в зависимости от вложенных в него капиталов. Эти данные известны и заданы таблицей:

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	28	42	51	57	61	64	66
f2(x2)	0	20	27	30	31	32	32	33
f3(x3)	0	8	26	37	47	53	58	61
f4(x4)	0	5	20	29	36	41	45	47

Требуется найти такое распределение X=(х₁, х₂, x₃, х₄) капиталовложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли.

Но так же не стоит забывать, что в данной задаче происходит распределение капиталовложений в рамках выделенных 700 млн. руб., т.е. х₁+ х₂+ x₃+ х₄=700.

Кроме того, вкладываемые капиталы в предприятия кратны 100 млн. руб., т.е. x_j=100 * n , где n=0,1,2,…,7.

В качестве показателя эффективности выступает суммарный прирост прибыли 4-х предприятий: Z=f₁(x₁)+ f₂(x₂)+ f₃(x₃)+ f₄(x₄) → max.

В качестве критерия эффективности выступает принцип максимального результата.

Итак, требуется найти X, компоненты которого обеспечили бы максимум функции Z, при ограничении на его компоненты. Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Для решения данной задачи введём параметр t,обозначающий кол-во млн. руб., выделяемых сразу k предприятиям вместе. Тогда прибыль от такого вклада составит F_k(t) при 0<= t <=700.

Представим ситуацию, что последнее, а именно k-предприятие, получит x_k млн. руб., тогда остальные (t-xk) млн. руб. должны быть распределены между предприятиями от первого до (k-1)-предприятия, причем не надо забывать, что при вложении капиталов мы должны получить максимальную прибыль.

Таким образом, приходим к рекуррентному соотношению, которое выполняет роль критерия эффективности:

Для k=2,3,4 : F_k(t) = f_k(x_k) + F_k-1 (t-x_k) → max при 0<=x_k<=t ;

Для k=1 : F_k(t) = f₁(t)

Функции прибыли F_k(t) и соответствующие им значения x_k табулируются в следующих таблицах:

	t-x2	0	100	200	300	400	500	600	700
x2	F1(t-x2) f2(x2)	0	28	42	51	57	61	64	66
0	0	0	28*	42	51	57	61	64	66
100	20	20	48*	62*	71*	77	81	84
200	27	27	55	69	78*	84*	88*
300	30	30	58	72	81	87
400	31	31	59	73	82
500	32	32	60	74
600	32	32	60
700	33	33

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(t)	0	28	48	62	71	78	84	88
x2	0	0	100	100	100	200	200	200

	t-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3	F2(t-x3) f3(x3)	0	28	48	62	71	78	84	88
0	0	0	28*	48*	62*	71	78	84	88
100	8	8	36	56	70	79	86	92
200	26	26	54	74*	88*	97	104
300	37	37	65	85	99*	108
400	47	47	75	95	109*
500	53	53	81	101
600	58	58	86
700	61	61

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(t)	0	28	48	62	74	88	99	109
x3	0	0	0	0	200	200	300	400

	t-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4	F3(t-x4) f4(x4)	0	28	48	62	74	88	99	109
0	0								109*
100	5							104
200	20						108
300	29					103
400	36				98
500	41			89
600	45		73
700	47	47

Z_max = 109 тыс. руб., причем наилучшее вложение капитала выглядит следующим образом:

x*₄ = x₄(700) = 0 руб.

x*₃ =x₃(700 - x*₄) = x₃(700) = 400 тыс. руб.

x*₂ =x₂(700 - x*₄ - x*₃) = x₂(300) = 100 тыс. руб.

x*₁ =700 - x*₄ - x*₃ - x*₂ = 200 тыс. руб.

Этот план обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли на 197 млн. руб.

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство:

Z_max = f₁(x*₁) + f₂(x*₂) + f₃(x*₃) + f₄(x*₄) = 42 + 20 + 47 + 0 = 109 тыс.руб.

Следовательно, полученные решения верны.