4. Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

При проведении какой-либо финансовой операции возникает неопределенность и поэтому её результат невозможно предсказать заранее. Из этого можно сделать вывод, что финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможен как прибыль, так и убыток.

Чтобы оценить операцию с точки зрения её доходности и риска, будем использовать представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Даны четыре финансовые операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найти средние ожидаемые доходы M(Q_i) и риски r_i операций. Нанести точки (M(Q_i), r_i) на плоскость, найти финансовые операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы ( (Q_i)= 2M(Q_i) – r_i) найти лучшую и худшую операции.

Q1	2	6	8	14
	1/4	1/4	1/3	1/6
Q2	0	1	2	8
	1/3	1/3	1/6	1/6
Q3	2	3	4	10
	1/3	1/3	1/6	1/6
Q4	0	4	6	10
	1/5	1/5	1/5	2/5

Найдем M(Q_i) для каждой операции, показывающая средний ожидаемый доход, и - риск проведения данной операции.

M(Q₁)=2*1/4+6*1/4+8*1/3+14*1/6=7

M(Q₂)=0*1/3+1*1/3+2*1/6+8*1/6=2

M(Q₃)=2*1/3+3*1/3+4*1/6+10*1/6=4

M(Q₄)=0*1/5+4*1/5+6*1/5+10*2/5=6

D(Q_i)=M(Q_i²)-M²(Q_i)

D(Q₁)=64 – 49=15

D(Q₂)=11 2/3 – 4 =7 2/3

D(Q₃)=23 2/3 – 16=7 2/3

D(Q₄)=50 2/5 – 36=14 2/5

r₁=3,9

r₂=2,8

r₃=2,8

r₄=3,8

Теперь нанесём точки (M(Q_i), r_i) на плоскость.

Получили 4 точки. Чем правее точка, тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Нас же интересует точка с максимальным доходом, но в то же время с минимальным риском. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (M(Q)’, r’) доминирует точку (M(Q),r) если M(Q)’=>M(Q) и r’<=r. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ю. Но 1-я, 3-я и 4-я операции несравнимы.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (M(Q),r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть  (Q)= 2M(Q) - r . Тогда получаем:

 (Q₁)=10,1 – max

 (Q₂)=1,2

 (Q₃)=5,2

 (Q₄)=8,2

Из расчётов видно, что 1-ая операция лучшая, а 2-ая худшая.

5. Распределение капитальных вложений

Имеется производственное объединение, включающее в себя 4 предприятия. По плану в ближайшее время должна проводится реконструкция этих 4-х предприятий. На реконструкцию выделено 700 млн. руб. и суммы распределены между предприятиями кратно 100 млн. руб. После проведения реконструкции ожидается прирост прибыли от каждого предприятия в зависимости от вложенных в него капиталов. Эти данные известны и заданы таблицей:

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	42	58	71	80	89	95	100
f2(x2)	0	30	49	63	6	69	65	60
f3(x3)	0	22	37	49	59	68	76	82
f4(x4)	0	50	68	82	92	100	107	112

Требуется найти такое распределение X=(х₁, х₂, x₃, х₄) капиталовложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли.

Но так же не стоит забывать, что в данной задаче происходит распределение капиталовложений в рамках выделенных 700 млн. руб., т.е. х₁+ х₂+ x₃+ х₄=700.

Кроме того, вкладываемые капиталы в предприятия кратны 100 млн. руб., т.е. x_j=100 * n , где n=0,1,2,…,7.

В качестве показателя эффективности выступает суммарный прирост прибыли 4-х предприятий: Z=f₁(x₁)+ f₂(x₂)+ f₃(x₃)+ f₄(x₄) → max.

В качестве критерия эффективности выступает принцип максимального результата.

Итак, требуется найти X, компоненты которого обеспечили бы максимум функции Z, при ограничении на его компоненты. Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Для решения данной задачи введём параметр t,обозначающий кол-во млн. руб., выделяемых сразу k предприятиям вместе. Тогда прибыль от такого вклада составит F_k(t) при 0<= t <=700.

Представим ситуацию, что последнее, а именно k-предприятие, получит x_k млн. руб., тогда остальные (t-xk) млн. руб. должны быть распределены между предприятиями от первого до (k-1)-предприятия, причем не надо забывать, что при вложении капиталов мы должны получить максимальную прибыль.

Таким образом, приходим к рекуррентному соотношению, которое выполняет роль критерия эффективности:

Для k=2,3,4 : F_k(t) = f_k(x_k) + F_k-1 (t-x_k) → max при 0<=x_k<=t ;

Для k=1 : F_k(t) = f₁(t)

Функции прибыли F_k(t) и соответствующие им значения x_k табулируются в следующих таблицах:

	t-x2	0	100	200	300	400	500	600	700
x2	F1(t-x2) f2(x2)	0	42	58	71	80	89	95	100
0	0	0	42	58	71	80	89	95	100
100	30	30	72	88	101	110	119	125
200	49	49	91	107	120	129	138
300	63	63	105	121	134	143
400	68	68	110	126	139
500	69	69	111	127
600	65	65	107
700	60	60

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(t)	0	42	72	91	107	121	134	143
x2	0	0	100	200	200	300	300	300

	t-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3	F2(t-x3) f3(x3)	0	42	72	91	107	121	134	143
0	0	0	42	72	91	107	121	134	143
100	22	22	64	94	113	129	143	156
200	37	37	79	109	128	144	158
300	49	49	91	121	140	156
400	59	59	101	131	150
500	68	68	110	140
600	76	76	118
700	82	82

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(t)	0	42	72	94	113	129	144	158
x3	0	0	0	100	100	100	200	300

	t-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4	F3(t-x4) f4(x4)	0	42	72	94	113	129	144	158
0	0								158
100	50							194
200	68						197
300	82					195
400	92				186
500	100			172
600	107		149
700	112	112

Z_max = 197 тыс. руб., причем четвертому предприятию должно быть выделено 200 млн. руб.

x₃(700-200)=100 млн. руб.

x₂(400)=200 млн. руб.

x₁=700-200-100-200=200 млн. руб.

Итак, наилучшее вложение капитала выглядит следующим образом:

1-ому предприятию – 200 млн. руб.

2-ому предприятию – 200 млн. руб.

3-ему предприятию – 100 млн. руб.

4-ому предприятию – 200 млн. руб.

Этот план обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли на 197 млн. руб.

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство:

f₁(x₁) + f₂(x₂) + f₃(x₃) + f₄(x₄) = Z_max

f₁(200) + f₂(200) + f₃(100) + f₄(200) = 58 + 49 + 22 + 68 = 197 = Z_max

Следовательно, полученные решения верны.