- •Государственный Университет Управления
- •Курсовая работа
- •1. Линейная производственная задача
- •2. Двойственная задача
- •Задача о «расшивке узких мест производства»
- •3. Транспортная задача линейного программирования
- •4. Анализ доходности и риска финансовых операций
- •5. Распределение капитальных вложений
- •6. Матричная игра
- •7. Принятие решений в условиях неопределенности
- •8. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
2. Двойственная задача
Некое предприятие «КПО», использующее те же ресурсы что и предприятие из предыдущей задачи, желает приобрести все эти ресурсы. Оно желает приобрести их по ценам y1, y2 и y3 соответственно за единицу каждого из трёх ресурсов. Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Из условий предыдущей задачи нам известны затраты всех 3-х ресурсов для производства для каждого из 4-х видов продукции (A), количество ресурсов на производстве (B) и прибыль от единицы каждой продукции (C):
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 3 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 4 единицы третьего. В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 3у1 + 4у2 + 4у3, т.е. столько заплатит предприятие «КПО» за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 30. Следовательно, мы можем согласиться с предложением предприятия «КПО» только в том случае, если он заплатит не меньше 30 :
3у1 + 4у2 + 4у3 30.
Соответственные условия должны выполняться и для продукции других видов, т.е.
Но при продаже требуется учитывать и интересы покупателя. Естественным желанием покупателя является снижение расходов. Так как предприятие желает закупить весь объём имеющихся ресурсов, то его затраты при ценах y1, y2 и y3 составят , где коэффициенты приy1, y2 и y3 - количество имеющихся ресурсов. Таким образом:
→min
Кроме того, так как цены не могут быть отрицательными, то .
Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х(х1,х2,х3,x4) и у(у1,у2,у3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:
x1 (3y1 + 4y2 + 4y3 - 30) = 0 y1 (3x1 + 2x2 + 6x3 - 150) = 0
x 2 (2y1 + 2y2 + 3y3 - 11) = 0 y2 (4x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 - 130) = 0
x 3 (6y1 + 3y2 + 2y3 - 45) = 0 y3 (4x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 - 124) = 0 .
x 4 ( + 5y2 + 4y3 - 6) = 0
Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной задачи х1>0 и х3>0. Поэтому
3y1 + 4y2 + 4y3 - 30 = 0
6y1 + 3y2 + 2y3 - 45 = 0
Учитывая, что 3-ой ресурс был избыточным, то, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка , получим систему:
3y1 + 4y2 - 30 = 0
6y1 + 3y2 - 45 = 0 откуда следует у1 = 6, у2 = 3.
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: у1 = 6, у2 = 3, у3 = 0
причем общая оценка всех ресурсов равна 150*6+130*3+124*0=1290
Решение содержится в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи.
Экономический смысл двойственных оценок:
двойственная оценка первого ресурса у1=6 показывает, что добавление одной единицы первого ресурса обеспечит прирост максимальной прибыли в 6 единиц;
двойственная оценка второго ресурса у2=3 показывает, что добавление одной единицы второго ресурса обеспечит прирост прибыли в 3 единицы;
оценка второй технологии Δ2 = 7 показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц;
оценка четвертой технологии Δ4 = 9 показывает, что если произвести одну единицу продукции четвертого вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 9 единиц.