- •Производственные функции
- •1. Общее представление об экономических моделях производства
- •2. Пф как основа описания закономерностей производства
- •3. Показатели предельного анализа пф
- •Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат I-го ресурса:
- •4. Свойства пф
- •5. Возможности замещения ресурсов
- •6. Анализ замещения ресурсов в пф с произвольным числом ресурсов
5. Возможности замещения ресурсов
Рассмотрим ПФ с двумя ресурсами:
, 0<а<1. (20)
y – объем конечной продукции народного хозяйства,
х1 – общее количество основных фондов,
x2 – общее количество трудовых ресурсов.
Для нее δ=1. Поэтому в данном случае можно построить функцию, которая будет показывать объем продукции на 1 трудящегося: ,
–фондовооруженность – отношение объема основных фондов к численности трудящихся.
Характеристикой возможности взаимного замещения ресурсов является изокванта. Изокванта – совокупность таких сочетаний ресурсов, при которых может быть произведено одно и то же определенное количество продукции у0:
(21)
Рассмотрим в пространстве ресурсов произвольный луч, исходящий из начала координат и лежащий в положительном ортанте. Данному лучу соответствует множество точек:
х0 – положительный единичный направляющий вектор (орт).
Точкам луча L соответствует выражение:
f(х)=f(tx0)=tδf(х0)
Если при t=t0 выполняется y0=t0δ·f(х0), тогда луч L будет пересекаться с изоквантой Q(y0) в точке x*=t0х0.
В точках луча tх0, лежащих к началу координат ближе, чем точка x* (т.е. при t<t0), будет у < у0. В точках луча, лежащих от начала координат дальше, чем точка x* (при t > t0), имеем у > у0.
Свойства изоквант:
изокванты не пересекаются друг с другом;
изокванта Q(y0) разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на 2 множества: в одном из которых у < у0, в другом у > у0, причем граница между этими множествами проходит по изокванте Q(y0);
большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленная oт начала координат;
изокванты не имеют общих точек с осями координат.
Одна из изоквант производственной функции изображена на рисунке. Луч L представлен на рис.1 линией OA.
Рис. 1
Изокванта Q(y0) представляет собой зависимость x2(xl).
Неявный вид уравнения изокванты x2(xl):
Явный вид:
(22)
Изокванта x2(xl) имеет смысл количества трудовых ресурсов x2, необходимых для получения заданного конечного продукта y0 в зависимости от использующегося объема основных фондов xl, и является монотонно убывающей функцией.
Продифференцировав f(x) вдоль изокванты (), получим:
. (23)
Величина γ – предельная норма замещения одного ресурса другим. Она показывает, сколько высвобождается 2-го ресурса при увеличении затрат 1-го ресурса, если выпуск продукции остается неизменным.
Из условия (10) получается, что γ≤0 (γ имеет отрицательную величину), т.к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить.
γ=tgφ ≤ 0 (рис.1). Угол φ и величина γ меняются при движении вдоль изокванты Q(y0).
Для ПФ имеем:
. (24)
Т.е. предельная норма замещения труда основными фондами γ обратно пропорциональна фондовооруженности (x1/x2). Каждая новая единица основных фондов высвобождает определенное количество трудовых ресурсов.
Линии, соответствующие определенным значениям нормы замещения γ0, называются изоклиналями ПФ с двумя ресурсами; для функции (20) изоклинали имеют вид:
Отношение x2/x1 характеризуется тангенсом угла ξ наклона изоклинали (x2/x1=tgξ).
На рис.2 для ПФ (20) представлены две изокванты Q(у0) и Q(у1) и три изоклинали γ1, γ2 и γ3, где (-γ1) > (-γ2) > (-γ3).
Рис.2
γi = tgφi , i = 1, 2, 3,
уравнения изоклиналей: , i = 1, 2, 3.
В данном случае (для однородных ПФ) изоклинали – лучи, исходящие из начала координат.
Относительной характеристикой скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты является эластичность замещения ресурсов σ(x1,x2):
(25)
Эластичность замещения ресурсов σ позволяет охарактеризовать возможность замещения ресурсов в целом. Она показывает, на сколько процентов изменится отношение ресурсов x2/x1 вдоль изокванты, если изменить предельную норму замещения γ на 1%. Чем больше σ, тем шире пределы замещения ресурсов друг другом.
Для ПФ (20) эластичность замещения ресурсов σ имеет геометрическую интерпретацию (рис.2): она показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (т.е. изменитьtgξ), чтобы tgφ изменился на 1%.
Другая форма представления эластичности замещения ресурсов:
Для ПФ (20) прологарифмируем предельную норму замещения:
получаем: