3. Показатели предельного анализа пф

Рассмотрим ПФ выпуска y=f(х,а) с одним продуктом и несколькими ресурсами. Функция допускает замещение одного ресурса другим без изменения объема выпуска продукта y.

Будем считать, что параметры вектора а известны и их влияние не рассматриваем. Тогда функция выпуска приобретает вид:

y=f(х), (8)

где независимые переменные х=(х₁,...,х_п) – вектор затрат ресурсов.

Предположим, что ПФ задана при всех неотрицательных компонентах вектора х (х_i ≥ 0), является непрерывной (или нужное число раз дифференцируемой функцией своих аргументов).

Предельная производительность (эффективность) i-го ресурса (предельный продукт) – частная производная ПФ по одному из ресурсов . Характеризует скорость изменения функции выпуска по отношению к изменению затрат ресурса.

Если предельная производительность ресурса положительна (отрицательна), то при росте затрат ресурса выпуск растет (уменьшается).

Средняя производительность (эффективность) ресурса – показатель .

Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат I-го ресурса:

является относительной характеристикой изменения выпуска продукции при увеличении затрат ресурса. Показывает, на сколько процентов возрастет выпуск продукции при увеличении затрат ресурсов на 1 %.

Величину ε_i(x) можно вычислить по другой эквивалентной формуле:

Определим показатели для ПФ вида y=х^а при х > 0.

Предельная эффективность ресурса:

Средняя эффективность ресурса:

Так как 0 < а < 1, для этой ПФ предельная эффективность меньше средней.

Эластичность выпуска по ресурсу:

или .

Таким образом, ПФ y=х^а имеет постоянную эластичность выпуска по отношению к изменению затрат ресурса (ε = a).

Графики: ПФ y=х^а, предельной и средней эффективностей, эластичности выпуска по ресурсу.

4. Свойства пф

Рассмотрим свойства функции выпуска одного продукта y=f(х,а), допускающих замещение одного ресурса другим. Эти свойства имеют под собой экономическое обоснование.

1) Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного незаменимого ресурса:

f(0, х₂, …, х_n) = 0;

f(х₁, 0, …, х_n) = 0;

f(х₁, х₂, …, 0) = 0;

Каждый из ресурсов необходим хотя бы в малых количествах. Его полное отсутствие не может компенсироваться другими ресурсами.

2) Свойство монотонности. При увеличении затрат ресурсов выпуск продукции не уменьшается. Это означает, что предельные эффективности ресурсов (предельные продукты) неотрицательны:

, i=1,...,n. (10)

Данное свойство выполняется не всегда. Например, при возрастании количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство зерна сначала растет, а затем начинает снижаться.

Для ПФ, не удовлетворяющих этому свойству, применяется понятие экономической области, внутри которой ресурсы используются в различных сочетаниях.

Для функции выпуска y=f(х), имеющей непрерывные производные, границами экономической области являются разделяющие поверхности вида .

3) Закон убывающей доходности (отдачи). По мере увеличения одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность его использования не возрастает. Иначе, увеличение затрат одного вида ресурса при постоянном уровне затрат других ресурсов приводит к меньшему приросту выпуска продукции. Математически это свойство выглядит так:

, i=1,...,n. (11)

Для ПФ вида y=х^а это условие означает, что рост вооруженности средствами производства приводит к росту выпуска продукции, но темп этого роста все время падает. В случае экстенсивного роста производства (только за счет количества ресурсов без повышения эффективности их использования) каждая следующая единица ресурса, количество которого возрастает, соединяется со все меньшим приходящимся на нее количеством других ресурсов, и тогда эффективность использования этого ресурса уменьшается.

Вместо условия (11) используется другое математическое требование, близкое к (11) по смыслу.

Если y=f(х) – выпуклая вверх функция, для значений любых двух неотрицательных векторов x^* и х^** и любого числа ає[0,1] справедливо неравенство:

f(ax^* + (1-а)х^**) ≥ af(x^*) + (1-a)f(x^**). (12)

Если функция y=f(х) дважды непрерывно дифференцируема, условие выпуклости (12) соответствует требованию неположительной определенности квадратичной формы при всех положительных значениях вектора ресурсов х:

. (13)

Если используется единственный ресурс, а функция y=f(х) – гладкая, то требования (11), (12) и (13) равносильны.

Если ресурсов несколько, то (11) не эквивалентно (12) или (13), т.е. не эквивалентно выпуклости вверх функции f(х).

4) Свойство однородности – описывает реакцию ПФ на изменение затрат. ПФ характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства, т.е. изменения выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов (tх).

Функция f(х) называется однородной функцией степени δ, если для любого вектора х и любого скаляра t выполняется:

f(tх)=t^δ f(х). (14)

Параметр t характеризует масштаб изменения производства; δ – степень однородности ПФ (эффект от изменения масштабов производства). При δ>1 имеет место возрастающая отдача от расширения масштабов производства, при δ=1 – постоянная отдача, при δ<1 – убывающая отдача.

Характеристикой однородности ПФ (изменения выпуска продукции при изменении масштаба производства) является эластичность производства ε(х):

(15)

–производная по параметру t.

Показатель ε(х) характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов.

Найдем величину ε(х) для однородной ПФ вида f(tх)=t^δ f(х):

То есть получаем ε(х)=δ.

Существует связь между эластичностью производства ε(х) и эластичностями выпуска по отношению к изменению затрат ресурсов ε_i(х). Для установления этой связи используем:

, (16)

тогда

(17)

Таким образом, эластичность производства в некоторой точке пространства ресурсов равна сумме эластичностей выпуска по ресурсам в этой точке: .

В случае одного ресурса эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по ресурсу: .

Для линейно-однородной ПФ вида f(tх)=t^δf(х) связь между эластичностью производства ε(х) и эластичностями выпусков по ресурсам имеет вид:

. (18)

Рассмотрим ПФ, удовлетворяющие всем четырем свойствам.

Возьмем t, удовлетворяющий условию 0 < t < 1. Из условия (12) получаем:

f(tx + (1-t)·0) ≥ t f(x) + (1-t) f(0)

Поскольку в силу (9) f(0)=0, то f(tx) ≥ tf(x).

С использованием соотношения (14) получаем δ ≤ 1:

f(tx)=t^δf(х) ≥ tf(x) => t^δ ≥ t => при 0<t<1 δ≤1.

То есть, для выпуклых вверх ПФ имеет место невозрастающая отдача от расширения масштаба производства.

Используя связь эластичностей (18) () и условие неотрицательности эластичностей выпуска по ресурсам (), получим ограничение по эластичности выпуска:

. (19)

Таким образом, в основе ПФ лежат свойства (предположения):

Математическое предположение: функция задана при всех неотрицательных значениях составляющих вектора х и является непрерывной или нужное число раз дифференцируемой функцией своих аргументов.

Экономические предположения:

1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса

f(0, х₂, …, х_n) = 0

2. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается

3. По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает (выпуклость вверх).

4. ПФ характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства (однородность функции):

f(tx)=t^δf(х).