Математическая_Статистика_КР8

1

УДК 517(07)

Математическая статистика (теория, практика, контрольная работа №8). — Рос- тов-на-Дону: Ростовский государственный строительный университет, 2010, – 71 с.

Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения. Содержит основные понятия математической статистики, описание статистических методов первичной обработки данных, методы проверки статистических гипотез, примеры с подробными решениями. Приведены контрольные задания.

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники РГСУ Составители: д.т.н. Белявский Г.И. к.ф.-м.н. Мисюра В.В.

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2010

2

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий) по результатам наблюдений.

Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов, называется генеральной совокупностью.

Часть отобранных объектов из генеральной совокупности (результаты наблюдений над ограниченным числом объектов из этой совокупности) называется выборочной совокупностью или выборкой. Для того чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о случайной величине, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Репрезентативность выборки означает, что объекты выборки достаточно хорошо представляют генеральную совокупность. Репрезентативность выборки обеспечивается, согласно закону больших чисел, случайностью отбора. Последнее означает, что любой объект выборки отобран случайно, при этом все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Различают выборки с возвращением (повторные) и без возвращения (бесповторные). В первом случае отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед извлечением следующего, во втором — не возвращается.

1.Способы первичной обработки выборки

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной X. Рассмотрим выборку {x1 ,x2 ,...,xn }, состоящую из n наблюдений

(при этом п называется объемом выборки).

Полученный первичный статистический материал подлежит дальнейшей обработке, прежде всего упорядочению. Операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т. е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания, называется ранжированием опытных данных. Ранжированная совокупность опытных данных называется ва-

риационным рядом

Если в выборке число х1 повторяется m1 раз, число х2 – m2 раза,…, число хk – mk раз (т. е. выборка содержит k различных значений случайной величины), то числа xi называются вариантами, соответствующие им mi – частотами (абсо-

лютными частотами). При этом m1 + m2 + ... + mk = n .

При этом вместо абсолютных частот mi можно задавать распределение относительных частот (частость).

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот всех вариантов называется частостью или относительной частотой этого варианта и обозначается pi , где i — индекс варианта

3

i=1

Ранжированная совокупность вариантов и соответствующих им частот или частостей называется дискретным статистическим рядом или статистическим распределением выборки.

Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, вторая — их частоты или частости.

Пусть для дискретной случайной величины X по выборочным данным построен дискретный статистический ряд, в котором каждому варианту xi – ставится в соответствие его частость pi . Очевидно, что ∑pi равны 1. Тогда статистиче-

ское распределение выборки является оценкой неизвестного распределения дискретной случайной величины X. Естественно считать частость pi выборочным

аналогом (вычисленной по выборочным данным) вероятности рi, появления значения xi, случайной величины X, так как частость (статистическая вероятность) pi

обладает свойством устойчивости, или, иначе, при выполнении определенных условий (см. теоремуБернулли) стремится по вероятности к вероятности pi.

Пример 1.1. Дана выборка, состоящая из чисел: 3.2, 5.0, 7.5, 7,5, 6.7, 4.4, 4.4, 5.0, 5.0, 6.7, 6.7, 7.5, 3.2, 4.4, 6.7, 6.7, 5.0, 5.0, 4.4, 8.1. Построить дискретный статисти-

ческий ряд.

Решение.

Объем выборки п = 20. Перепишем варианты в порядке возрастания: 3.2, 3.2, 4.4, 4.4, 4.4, 4.4, 5.0, 5.0, 5.0, 5.0, 5.0, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 7.5, 7.5, 7.5, 8.1.

Составлен вариационный ряд, который показывает, что выборка состоит из шести вариантов.

Составим дискретный статистический ряд:

Если получена выборка значений непрерывной случайной величины, где отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга, составляется сгруппированный (интервальный) статистический ряд.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значении которой велико. В подобных случаях следует также построить интервальный ряд распределения.

4

Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частотупопадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальный статистистический ряд — это упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Для построения интервального ряда необходимо определить величину частичных интервалов, на которые разбивается весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины. Считая, что все частичные интервалы имеют одну и ту же длину, для каждого интервала следует установить его верхнюю и нижнюю границы, а затем в соответствии с полученной упорядоченной совокупностью частичных интервалов сгруппировать результаты наблюдений. Длину частичного интервала h следует выбрать так, чтобы построенный ряд не был громоздким и в то же время позволял выявить характерные черты изменения значений случайной величины, т. е. характерные черты изучаемого явления.

Длина интервала вычисляется по формуле

торый интервал (a,b) содержит все варианты),

в качестве абсолютных частот выступают количества вариантов, попавших в данный интервал. Если наблюдаемое значение находится на границе интервала, то его присоединяют к правомуинтервалу.

Для более точного определения величины частичного интервала можно воспользоваться формулой Стерджеса

k — число интервалов. Если окажется, что k — дробное число, то число интервалов следует брать либо ближайшее целое число, либо целую часть числа.

За начало первого интервала рекомендуется брать величину xнач=xнаим-0,5h.

Конец последнего интервала (хкон) должен удовлетворять условию

xкон −h ≤ xнаиб < xкон

Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h. Очевидно, что получаем k+1 интервал.

Построить интервальный статистический ряд.

5

Решение.

Объем выборки п = 30. Выполним ранжирование выборки:

Найдем число интервалов k и длинуинтервалов h по формуле Стерджеса.

k =1+1,4 ln(30) ≈ 5,7. Поскольку k должно быть целым числом, возьмем целую часть от числа 5,7, k=5.

Найдем h = 145,2 = 2,84 .

Отступаем на полшага h от наименьшего значения выборки – 0,2 − 2,284 = −1,22. Промежуточные интервалы получаем прибавляя к концу пре-

дыдущего интервала длину частичного интервала h (в рассматриваемом случае h=2,84).

Статистический ряд при этом имеет вид:

Из таблицы видно, что в четвертый интервал попало 2 значения случайной величины. Однако определенно нельзя сказать, каковы эти значения, зато можно утверждать, что все эти значения принадлежат интервалу [7,3; 10,14). Такие частоты обычно называют интервальными, а их отношение к общему числу наблю- дений—интервальными частостями.

При вычислении интервальных частостей округление результатов следует проводить таким образом, чтобы общая сумма частостей была равна 1. ►

Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения.

7

Пример 1.3. Для данных примера 1.1 построить эмпирическую функцию распределения.

Решение.

Найдем накопленные частоты и частости. Наименьший вариант равен 3,2, число наблюдений меньших либо равных 3,2 равно 2, значит, mx = 2 и

ωx = mnx = 202 . Если x = 4,4, число наблюдений меньших либо равных 4,4 равно 6,

В рассматриваемом примере функция F(x) построена по дискретному статистическому ряду и для дискретной случайной величины. Рассмотрим на примере построения функции F(x) по интервальному статистическому ряду для непрерывной случайной величины .

Пример 1.4. Используя данные примера 1.2, найдем выборочную функцию распределения.

Решение.

Найдем накопленные частоты и частости. Начало первого интервала равно -1,22, число наблюдений меньших либо равных -1,22 равно 0, значит, mx = 0 и

ωx = 0 . Далее x =1,62 , число наблюдений меньших либо равных 1,62 равно 6, значит, mx = 6 и ωx = mnx = 306 и т.д. Результаты вычислений запишем в виде таблицы.

Обратите внимание, что на концах частичных интервалов значение эмпирической функции распределения F(x) и значение накопленной частости ωx совпадают. ►

Для наглядного представления поведения случайной величины, исследуемой по выборке, используют графические изображения статистических рядов в виде полигона, гистограммы и кумулянты.

Полигон служит, как правило, для изображения дискретного статистического ряда и представляет собой ломаную, соединяющую точки плоскости с коорди-

натами (xi ,mi ) , i =1,2,...,n. Для интервального ряда полигон строится по точкам (ci ,mi ) , где ci —середина i-го интервала.