Неоднородные уравнения случай специальной правой части

Общий вид:

у + а₁у + а₂у = f(x), (14)

где . (15)

Здесь P_m(x) и Q_n(x) - алгебраические многочлены степеней соответственно m и n.

В этом случае общее решение (14) получается как сумма общего решения (13) и какого-либо частного решения (14): у_{о. н.} = у_{о. о.} + у_{ч. н.}.

Покажем, как находить у_{ч. н.}, когда f(х) имеет вид (15). Исходя из конкретного вида (15), составляется число . Далее ставится вопрос: является ликорнем характеристического уравнения (13). Здесь возможны 3 случая, для каждого из которых строится у_{ч. н.}.

Объединим эти случаи в табл.2.

Таблица 2.

Число	Вид уч. н.
Не является корнем характеристического уравнения	уч. н. =
Является корнем характеристического равнения кратности 1	уч. н. =
Является корнем характеристического уравнения кратности 2	уч. н. =

Здесь - алгебраические многочлены степени , где = max(m, n). Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов так, как это показано на следующем примере.

ПРИМЕР. у - 4у = х - 1.

Это - неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и со стандартной правой частью.

Характеристическое уравнение: к² - 4 = 0. к₁ = 2, к₂ = -2.

у_{о. о.} = С₁e^2х + С₂e^-2х (случай (а) табл.1).

Составляем . Т. к. здесь = 0 и  = 0, то =0; число 0 не является корнем характеристического уравнения, т. е. Это 1-й случай табл. 2. Следовательно, у_{ч. н.} = Ах + В (здесь А и В - неизвестные коэффициенты. Найдем их.) . Подставим у_{ч. н.} в исходное уравнение. Т. к. у_{ч. н.} = А , у_{ч. н.} = 0, то

-4 * (Ах + В) = х - 1.

Приравниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях Х (в этом и заключается метод неопределенных коэффициентов).

.

Итак, у_{ч. н.} = . Тогдау_{о. н.} = у_{о. о.} + у_{ч. н.} = - есть общее решение исходного уравнения.

Задача № 3

1. ; 2. ;

3..

1. Характеристическое уравнение:

_ч.н.(1).

Подставим (1) в исходное уравнение

.

Отсюда находим А, и у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. .

2. Характеристическое уравнение:

Т.к. - не является корнем характеристического уравнения, то

у_ч.н. = Ах + В (2).

Подставим (2) в исходное уравнение -2а₁₂А + а²₁₂ (Ах + В ) = а₁₃х + а₂₃,

методом неопределенных коэффициентов находим А и В, и у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. .

3. Характеристическое уравнение: к² + а₁₃к = 0, к₁ = 0, к₂ = -а₁₃;

у_о.о. = С₁ + С₂ *.

Т.к. - не является корнем характеристического уравнения, то

у_ч.н. = (3).

Подставим (3) в исходное уравнение:

Находим коэффициенты А и В методом неопределенных коэффициентов, и

у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. .

Пояснение

Номер варианта в контрольных работах № 3, №4 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

№ варианта	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	в1	в2	в3
1	1	-2	3	-4	5	-6	7	-8	9	5	-6	7
2	2	10	-9	8	-7	6	11	-12	13	8	9	4
3	3	4	5	-6	7	-8	9	-10	6	4	-3	2
4	2	2	10	8	-6	-3	1	5	-7	9	2	4
5	5	1	3	4	-2	6	8	-7	9	2	4	3
6	6	5	1	-7	3	4	-2	2	3	1	5	6
7	7	3	-4	5	8	-9	10	6	4	3	1	-8
8	8	-6	2	3	4	1	-4	3	-5	-6	7	-1
9	9	7	8	1	-1	2	3	-4	2	-2	8	5
0	10	8	7	2	9	-5	6	1	-1	7	2	9

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ»