- •Интегральное исчисление
- •1. Интегральное исчисление
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Метод подстановки
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Задача № 8
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Задача № 12
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл в прямоугольных координатах
- •Вычисление двойного интеграла
- •Задача № 13
- •Задача № 14
- •Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
- •Задача № 1
- •Основные определения
- •Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
- •Задача № 2
- •Неоднородные уравнения случай специальной правой части
- •Задача № 3
- •Пояснение
- •Контрольная работа
- •Высшей математике (часть 2) Студента(ки) группы _________________________________________________
Теорема существования определенного интеграла
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, в ], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способов разбиения на отрезке [ a, в ] на элементарные отрезки, ни от выборов точек на этих отрезках.
Если функция f(x) на отрезке [ a, в ] положительна, то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
; 2. ; 3.;
4. ;
ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА
, где F(x) - первообразная функции f(x) , т.е. F(x) = f(x).
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Замена переменной в интеграле .
Делается подстановка х = (t) и вычисляется дифференциал dx = (t)dt. Находятся новые пределы интегрирования путем решения уравнений а = (t),
в = (t) относительно t. Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Интегрирование по частям
где U = U(x), V = V(x) - непрерывно дифференцируемые функции на [ а, в ].
Вычислить
определенный
интеграл:
1.;
2.;
3.;4. .
=
2. =
3. =
=
4. =
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) [ f(x) 0 ], прямыми х = а, х = в, у = 0, вычисляется по формуле .
y
= f(x)
а
в
Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f1(x) и y = f2(x) сверху и снизу соответственно, вычисляется по формуле: .
y
=f1(x)
y
= f2(x)
а
в
ПРИМЕР:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х2, х + у + 2 = 0.
Построим график и найдем точки пересечения линий, решив систему уравнений .
Y
2
-1
X
1
-4
Вычисление объема тела вращения
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой y = f(x) и прямыми у = 0, х = в. Пусть эта трапеция вращается вокруг оси Ох. Тогда объем тела вращения вычисляется по формуле .
Если фигура, ограниченная кривыми y = f1(x); y = f2(x) (0 ≤ f1(x) ≤ f2(x)) и прямыми х = а, х = в, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения .
Рассмотрим криволинейную трапецию х = (у), х = 0, у = 1, у = d. Объем тела вращения, полученного путем вращения этой трапеции вокруг оси Оу, .
Задача № 12
Найти объем тела вращения
У
Х
в
х1
в
.
х
Двойной интеграл
Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д плоскости хОу. Разобьем область Д произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S1 , S2 , ... ,Sn и диаметры d1,d2, ..., dn (диаметром называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Pi(xi, yi) и составим следующую сумму:
.
Такая сумма называется интегральной суммой.
Определение:
Предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n и наибольший диаметр max dk 0, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, если этот предел существует и не зависит :
ни от способа разбиения области Д на элементарные области;
ни от способа выбора в них точек Рi
.
Если f(x, y) 0 в области Д, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностьюz = f(x, y), сбоку - образующими параллельные оси Оz, а снизу - областью Д (лежащей на плоскости хОу).
Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.