matan_vse_k_ekzamenu_za_1_semestr

Возрастание и убывание функции в точке.

Определение: функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке , если найдется такая окрестность точки , что выполняется: f(x)>f() (f(x)<f())при x>;f(x)<f() (f(x)>f() при x<

Теорема 33.Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x= и f’()>0(f’(x)<0)тогда функция f(x) возрастает (убывает) в

Док-во: проведем для случая f’()>0

По определению наличия производной функции f(x) означает, что следующий предел: тогда в соответствии со вторым определением функции, для любого έ>0 найдется δ>0 такое, что при Іx-І< δ выполняется: < έ; f’( έ<<f’( έ.выберем έ<f’(f’(- έ>0 ,тогда >f’( έ>0.

А)f(x)-f(при x> Б)f(x)-f(<0 при x<

Локальный максимум и минимум функции.

Определение: функция y=f(x) имеет в точке локальный макс(мин),если найдется окрестность точки ,в пределах которой значение f(является наибольшим(наименьшим) среди всех значений функции в этой окрестности. вместе локальный максимум и минимум получили название локального экстремума.

Теорема 34.

Пусть функция y=f(x)имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке. Тогда f’()=0.

Док-во: так как точка локального экстремума не является ни точкой возрастания ни точкой убывания функции, значит не выполняется равенство f’()>0,f’()<0,то очевидно, что f’()=0.

Теорема 35(Ролля).

Пусть функция y=f(x) непрерывна на сегменте и дифференцируема в любой внутренней точке этого сегмента. Пусть кроме того f(a)=f(b).Тогда внутри найдется точка d , такая, что f’(d)=0.

Док-во: так как функция непрерывна на сегменте ,то она достигает на этом сегменте своих наибольшего M и наименьшего m значения. Могут реализоваться 2 случая:

a)значения m и M достигается на краях сегмента. Тогда из условия f(a)=f(b)следует, что M=m,но такое возможно только при f(x)=const.значит найдется точка d такая,что f’(d)=0.

Б)одно из значений m или M достигается на краю отрезка а другое внутри него в некоторой точке d,значит d-точка экстремума и f’(d)=0.

Теорема 36(Логранжа).

Пусть функция f(x) непрерывна на и дифференцируема в любой точке внутри сегмента:f(b)-f(a)=f’(d)(b-a)-формула Логранжа. d- точка внутри .

Док-во: Построим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(b-a).Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, функция непрерывна на .F(a)=-(a-a)=0;F(b)=f(b)-f(a)-(b-a)=0 таким образом F(a)=F(b) Вычислим F'(x):по теореме Ролля найдется точка d такая, что F’(d)=0=f’(d)=f(b)-f(a)=(b-a)f’(d).

Теорема 37 о возрастании(убывании) функции.

Для того, чтобы f(x) возрастала(убывала) на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы на (a,b) выполнилось f’(x)>0(<0).

Док-во: Считается, что f(x)↑(↓) на (a,b) то есть функция f(x) ↑(↓) в каждой точке этого интервала, но тогда в соответствии с теоремой 33, для каждой точке x из (a,b) выполняется f’(x)>0(<0)значит это условие выполняется на всем интервале (a,b). Достаточноcть : считается, что на (a,b) выполняется f’(x)>0(<0)Надо доказать, что f(x) возрастает(убывает) на (a,b).Выберем 2 произвольные точки на сегменте (a,b) и (<).Тогда на сегменте выполняется условие теоремы Логранжа. f(x2)-f(x1)=f’(d)(x2-x1)>0.для f’(d)>0f(x2)>f(x1) при x2>0(< 0для f’(d)<0)(f(x2)<f(x1)при x2>x1).

Теорема 38. Пусть точка - точка возможного экстремума функции f(x). И пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки .Тогда, если f’(x)>0(<0)в пределах этого интервала слева от точки и f’(x)<0(>0) справа от ,то функция имеет в точке локальный максимум(минимум).

Док-во: Проведем его для случая локального максимума. Выберем две точки из окрестности точки :<,>тогда на сегментах и применима формула Логранжа.f(x0)-f(x1)=f’(d)(x0-x1)>0 при d принадлежащем f(x0)>f(x1).

F(x2)-f(x0)=f’(d)(x2-x0)<0 при d принадлежащем  f(x0)>f(x2)

Теорема 39. Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки ,за исключением самой . И пусть f(x) непрерывна в Тогда, если в пределах указанной окрестности f’(x)>0(<0) слева от и f’(x)<0(>0) справа от точки ,то функция f(x) имеет в точке локальный максимум(минимум).Если знак производной функции справа и слева одинаковый, то в нет экстремума.

Доказательство аналогично 38 теореме.

Теорема 40. Пусть точка -точка возможного экстремума функции f(x). И пусть функция f(x) имеет в точке конечную вторую производную. Тогда, если f’’()<0,то в достигается локальный максимум, если же f’’(x)>0, то в локальный минимум.

Док-во: обозначим f’(x) =g(x). Тогда f’’(x)=g’(x) для максимума условие: f’’()=g’()<0. Далее в

Теорема 41Пусть функция x₀ y=f(x) дважды дифференцируема на (a,b) Тогда, если f^{``</sup>(x)<0 (f<sup>``}(x)>0 ) на (a,b) то график f(x) на (a,b) имеет выпуклость, направленная вверх (вниз)

Точки перегиба графика функции. Определение

Точка М(x₀,y₀) называется точкой перегиба графика функции y=f(x) если направление выпуклости слева и справа от т. x₀ различ x₀

Теорема 42

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в т. x₀ и пусть т. М (x₀,y₀) является точной точкой перегиба графика функции. Тогда y``(x₀)=0

Первое и второе достаточное условие перегиба

Теорема 43

(1 условие) пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности т. x₀ и пусть f``(x₀)=0, тогда есди вторая производная функции f(x) слева и справа от точки x₀ в пределах выбранной окрестности имеет различный знак, то график функции в т. М (x₀,y₀) имеет перегиб.

Теорема 44

Пусть функция y=f(x) – трижды дифференцируема в т. x₀ , и пусть выполняется f``(x<sub>0</sub>)=0, f``(x₀)≠0. Тогда график функции f(x) в т. М (x₀,y₀) имеет перегиб.

Третье достаточное условие экстремума и перегиба

Теорема 45

Пусть функция y=f(x) – n-раз дифференцируема в окрестности т. x₀ и (n+1) раз дифференцируема в самой т. x₀ .Пусть кроме того выполняется

f``(x₀)= f```(x₀)=… f⁽ⁿ⁾(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)≠0 , тогда 1) если число n-четное, то график функции f(x) в т. М (x₀,y₀) имеет перегиб.2) если n-нечетное число и кроме того f`(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0 (f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0) , то фунуция f(x) в т. x₀ имеет локальный максимум ( ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ)

Критерий Коши о существовании предела функции(условие Коши, теорема 47)

Определение: считает значений аргумента, что ф-ция y=f(x) удовлетворяет условию Коши в точке x=x₀ если для любого ε>0 найдется число δ>0, такое, что для любой пары x^`, x^`` значений аргумента, удовлетворяющих неравенства

0<|x₀-x^{`</sup>|< δ 0<|x<sub>0</sub>-x<sup>``</sup>|<δ выполняется неравенство | f(x<sup>`})- f(x`<sup>`</sup>)|<ε

Теорема 47(критерий коши) для того чтобы функция y=f(x) имела в т. x₀ конечное предельное значение, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в т. x₀ условие Коши (без доказательства)

Ограниченность функции непрерывной на сегменте. Определение

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху(снизу) на множ. {x} , если найдется число M(m) такое, что для всех x€{x} выполняется неравн. F(x)≤M(f(x)≥m)

Определение: Функция y=f(x) называется ограниченной на множистве {x} с обеих сторон, если она ограничена на этом множестве и снизу и сверху,т.е. m≤f(x)≤M (при x€{x})

Теорема 48(первая теорема Вейерштрасса)

Пусть ф -ция y=f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Тогда она ограничена на этом сегменте.Док-во: рассмотрим ограниченность сверху. Предположим противоположное , т.е. будем считать, что функция неограниченна сверх, тогда для любого сколь угодно большого числа A=n (нат.ур) найдетсе хотя бы одно значение x€[a,b] такое, что выполняется f(x_n)>n . Отсюда следует, что последовательность {f(x_n)}, соответствующая последовательности аргументов {x_n} (x_n€[a,b]) является бесконечно большой.

Последовательность аргумента {x_n} является ограниченной, т.к. все элементы x_n€[a,b]. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса из {x_n} можно выбрать последовательность {x_kn}, сходящаяся к некотор. Числу ξ€[a,b]

Отсюда следует, что в силу непрерывности ф-ции f(x) на [a,b] подпоследовательность {f(x_n)} должна быть бесконечно большой, как последовательности {f(x_n)} → первоначальное предположение о неограниченности сверху ф-ции f(x) а [a,b] неверно.

Точная верхняя и нижняя грани функции на сегменте(определение)

Число M(m) называется точной верхнейь (нижней) гранью функции f(x) на множестве {x} , если: 1) для всех x€{x} выполняется неравенство f(x)≤M(f(x)≥m). 2) для любого ε>0 найдется хотя бы одно значение аргумента x^{`</sup>€{x} такое что f(x<sup>`})>M-ε(f(x^`)<m+ε)

Теорема 49(2-я теорема Вейерштрасса)

Пусть ф -ция y=f(x) непрерывна на сегменте [a,b]. Тогда она достигает своих точных верхней и нижней граней на [a,b]. Док-во: проведем для верхней грани. Пусть М-точная верхняя грань f(x) на [a,b] . предположим, что М не достигается на [a,b], тогда справедливо неравенство f(x)<M M-f(x)>0 для всех xε[a,b]. Введем дополнительную функцию F(x)=; т.к. функция f(x) непрерывна на [a,b], то в соответствии с первой теоремой Вейерштрасса F(x) ограничена на [a,b]

F(x)=≤B→M-f(x) ≥ → M- ≥f(x) → f(x)≤M- =M` для всех x€[a,b].

M`- верхняя грань (M`<M). Но это противоречит тому, что M является точной верхней гранью. Следовательно, первоночальное предположение о том, что точная верхняя грань не достигается на [a,b] неверно.

Теорема 50 (теорема Коши): пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в каждой внутренней точке сегмента [a,b]. Пусть кроме того, g`(x)≠ во всех внутренних точках [a,b] найдется т. Ξ такая, что выполняется равенство = – формула Коши

Док-во: составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a) - * [g(x)-g(a)] . функция f(x) непрерывна на [a,b] , далее F(a)=F(b)=0. Тогда функция f(x) удовлетворяет условию теоремы Коши. В соответствии с этой теоремой внутри сегмента [a,b] найдется т. ξ такая , что F`(ξ)=0

F`(ξ)=f`(ξ)-*g`(=0 → f`(ξ)= * g`( . =