matan_vse_k_ekzamenu_za_1_semestr

Понятие подпоследовательности (определение, свойство, примеры). Определение: Пусть некоторая числовая последовательность. Выберем из этой последовательности бесконечное множество чисел ,,…,,… где Выбранное множество { называется подпоследвательностью последовательности . Пример: =1,1/2,1/3,…1/n; {1/2,1/4,1/6,…1/2n подпоследовательность исходной последовательности Свойство: каждая подпоследовательность сходящейся к a последовательности сходится к этому же числу a. |-a|<

Предельные точки последовательности (1, 2 определение)Определение 1: Точка x числовой оси называется предельной точкой последовательности , если в любой окрестности й точки содержится бесконечно много элементов этой последовательности . Определение 2: Точка x числовой оси называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выбрать последовательность, которая сходится к x

Лемма 4: Пусть точка x – предельная точка последовательности . Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к числу x. Доказательства: Выберем следующее множество значений : , ,…, . Так как по условию леммы x – предельная точка последовательности , то в пределах любой -окрестности содержится бесконечно много элементов . Выберем в пределах окрестности x с не который элемент исходной последовательности. В -окрестности с выберем (, и т.д. В -окрестности свыберем . Набор этих элементов будет составлять некоторую подпоследовательность {. . Поскольку , то x является предельной последовательностью {. Ч.т.д..

Лемма 5: Любая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку. Доказательства: пусть сходится к числу a, точка по определению является предельной точкой последовательности. Действительно, для сходящейся последовательности для любого ; ; . Таким образом, число a является предельной точкой . Предположим, что существует еще одна предельная точка b, тогда в соответствии с леммой 4 из можно выбрать подпоследовательность {, сходящуюся к b. В соответствии со свойствами подпоследовательности любая подпоследовательность сходящейся к a последовательности сходится к a. Следовательно, a=b и последовательность имеет только одну предельную точку. Ч.т.д.

Верхний и нижний пределы последовательности (определение). Определение: наибольшее (наименьшее ) предельное значение последовательности называется верхним (нижним) пределом этой последовательности.

Теорема 21 о вложенных, стягивающихся отрезках. Определение: Пусть , ,…, бесконечные множества отрезков, каждый из которых, начиная со второго, содержится в предыдущем. И пусть при . Тогда существует единственная точка c, принадлежащая сразу всем отрезкам. Доказательства: Докажем, что может существовать только одна точка, принадлежащая всем отрезкам. Предположим, что существует еще одна точка d, принадлежащая всем отрезкам. Тогда и весь отрезок cd принадлежит отрезкам и выполняется . Но это противоречит => существует только одна точка. Нетрудно увидеть, что является неубывающей и ограниченной сверху, хотя бы числом . В свою очередь последовательность {} является невозрастающей и ограниченной сверху. Тогда по теореме о сходимости монотонной последовательности и , и {} сходятся. Более того, их пределы одинаковы. . При этом с является точкой верхней (нижней) гранью последовательности (. ,ч.т.д.

Теорема 22 (Больцано-Вейерштрасса). Теорема: Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Доказательства: Так как последовательность . Получим подпоследовательность следующим образом. Разобьем на две части. Тогда в одной из половинок (пусть это будет ) содержится . Выберем некоторый элемент . Далее разделим на две половинки. Пусть в полученном отрезке содержится бесконечно много элементов . Выберем некоторый элемент .и т.д. Получим последовательность , где . Множество построенных отрезков – это множество вложенных стягивающихся (=). Тогда . Тогда по теореме о двух милиционерах последовательность сходится к числу c.

Теорема23(о существовании у ограниченной последовательности предельных точек и следствия) Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одно предельное значение. Док-во. В соответствии с теоремой Больцано-Вейерштрасса в любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. В соответствии со 2-м определением этот предел является предельной точкой исходной последовательности.

1. Для любого ε>0 интервал (- ε, ε) содержит все элементы ограниченной последовательности с некоторого номера. Иначе вне этого интервала содержится конечное число этой последовательности.

2. Любой интервал (а, b), вне которого находится конечное число элементов ограниченной последовательности, содержит в себе интервал ((

Понятие фундаментальной последовательности.

Последовательность {} называется фундаментальной, если для любого ε>0 найдется номер N(ε) такой, что при n≥ N(ε) и для любого натурального ряда p(p=1,2,3…) выполняется неравенство <ε

Теорема24(о сходимости ограниченной последовательности с совпадающими нижним и верхним пределами.)

Для того, чтобы последовательность {} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали(

Док-во. Необходимость-считается, что последовательность {} является сходящейся. Надо доказать, что она ограничена или в соответствии со свойством(теорема8) сходящаяся последовательность ограничена. А в соответствии с леммой5 сходящаяся последовательность имеет лишь одну предельную точку, совпадающую с пределом последовательности, т.е. Достаточность-считается, что последовательность {} ограничена и . Надо доказать, что {} сходится. Выберем произвольное ε>0, и воспользуемся следствием1 из теоремы23. В соответствии с этим следствием интервал интервал (- ε, ε) содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, т.е. этот интервал содержит бесконечно много элементов последовательности {}. Т.к. , то этот интервал запишем в виде: (a- ε, ε). Этот интервал есть ε-окрестность точки a. он содержит бесконечно много элементов последовательности {}. Тогда в соответствии с 1-м определением предельной точки, число а является предельной точкой этой последовательности. Т.к. то последовательность {}. Является сходящейся.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности(теорема25).

Для того, чтобы последовательность {} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Необходимость-считается, что последовательность {} сходится. Надо доказать, что она является фундаментальной. По определению сход. последовательности для любого ε найдется N(ε) такой, что < ε, n≥ N(ε). Номера n+p>n, поэтому при n≥ N(ε) выполняется неравенство <ε оценим . =≤+<2ε. < ε при n≥ N(ε).

Достаточность-считается, что последовательность фундаментальная, надо доказать, что она сходится. Воспользуемся теоремой 24. Надо доказать, что фундаментальная последовательность ограничена и . Ограниченность последовательности очевидна, т.к. выполняется < ε, при n≥ N(ε) и любом p. < ε -> ε<< ε. A=max {x1, x2, …x_n-1, x_n+ε}, тогда для всех n выполняется <A. В соответствии с ним интервал ( ε, ε) содержит в себе интервал () т.е. выполняется неравенство ≤ ε-(ε)=2ε. <2ε, => , тогда по теореме24 фундаментальная последовательность является сходящейся.

Понятие производной функции, ее геометрический смысл.

Производной функции y’(x), f’(x) называется предельное значение приращения функции к приращению аргумента

Геометрический смысл-tg угла наклона касательной к графику функции.

Правая и левая производные.

Правой(левой) производной функции y=f(x) называется правое(левое) предельное значение отношения приращения функции

F’(x+0) правая производная, F’(x-0) левая производная.

Дифференцируемость функции(определение. Теорема26).

Функция называется дифференцируемой в т. X, если ее приращение Δy ( в этой точке), соответствующее приращению аргумента Δx, равно Δy=A* Δx+o(Δx) не зависит от Δx.

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела этой точке конечную производную.

Необходимость-считается, что функция дифференцируема в точке x0. Надо доказать, что она имеет в этой точке производную. По определению дифференциала функции Δy= => =A+ , =A+=A, y’(x0)=A. Δy0=y’(x0)+o()

Достаточность-считается,что в т. x0 существует конечная производная. Надо доказать, что в x0 функция дифференцируема. По определению производной =f’(x), тогда – y’(x0)=α(= α(, =y’(x0)*+o(x)

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции dy в точке x₀ называется главное приращение функции в этой точке dy=y’(x)*dx

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения частного(теорема27).

Пусть функции u(x) и g(x) дифференцируемы в точке x. Тогда сумма, разность, произведение, частное(при условии, что знаменатель ≠0 в точке x) этих функций также дифференцируемы. При этом справедливы формулы:

1. .

2. .

3. .

Дифференцирование обратной функции(теорема28)

Пусть функция y=f(x) дифф. в точке x₀ и пусть в окрестности этой точки y=f(x) имеет обратную функцию x=f^-1(y). Тогда обратная функция дифф. в точке y₀ =f(x₀)(соответствует т. X₀) и справедлива формула: (y₀)==

Док-во. Возьмем некоторое приращение аргумента y, т.е. 0. Тогда соответствующее приращение (в силу строгой монотонности обратной функции). Производная обратной функции (y₀)= = =

Производные показательной и обратных тригонометрических функций.

1. y=a^x (a>0, a≠0, x (-∞, +∞)) x=log_ay обратная функция. y’=[a^x]_x’===ylna=a^xlna

2. y=arcsinx (x [-1, 1], y [, ]) x=siny, y’=[arcsinx]’==. Используя основное тригонометрическое тождество: sin²y+cos²y=1 => cosy=+-, cosy=, тк y [, ]. ==. По аналогии ищутся другие производные.

3. Y=arctg x; (x (-∞, ∞), y (, )), x=tg x. y’=[arctg x]’==cos²y=(1+tg²y=)= =. [arctg x]’=.

Правило дифференцирования сложной функции(теорема29).

Рассмотрим сложную функцию вида y=f(g(x)). Пусть функция g(x) дифференцируема в точке x₀ , а функция f(g) дифференцируема в точке g₀=g(x). Тогда сложная функция y=f(g(x)) дифференцируема в точке x₀ , при этом справедлива формула *(без доказательства).

Логарифмическая производная.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x и положительна в ней. Тогда имеет смысл равенство ln y=ln f(x), (ln y)’=(ln(f(x)))’ => => y’=y(ln f(x))’; логарифмическая производная применяется при вычислении производной функции вида y=

Использование дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда приращение Δy=f’(x) при x<<1 можно заменить Δy на dy (Δy≈dy=f’(x₀)Δx). y(x₀ + Δx)-y(x₀) ≈f’(x)dx, y(x₀ + Δx) ≈ y(x₀)+ f’(x₀)dx

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, тогда y’=f’(x)=g(x). Если g(x) дифференцируема в той же точке, можно записать g’(x)=[f’(x)]’=f’’(x). Рассуждая аналогично, можно ввести поняти3,4,… n-порядок производных.

Для производной n-го порядка принято следующее обозначение y⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x).

Формула Лейбница.

Y=u(x)*v(x). (uv)⁽ⁿ⁾=

Дифференциал высшего порядка. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x. dy=f’(x)dx. Если функция f’(x) дифференцируема, то можно записать d(dy)=d²y=d(f’(x)dx)=d(f’(x)dx=f’’(x)dxdx=f’’(x)(dx)²

Если функция n-раз дифференцируема, то можно записать dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ=f⁽ⁿ⁾(x)=

Дифференцирование функции, заданной параметрически.,

Правило Лопиталя(теорема30). Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, пусть кроме того, ==0, ==∞ и производная g’(x) отлична от 0 в рассматриваемой окрестности. Тогда если существует предельное значение , то существует и предельное значение и справедливо равенство: = . Замечание-если условие теоремы выполняется для f’(x) и g’(x), то справедливо =……. Данное правило используется для раскрытия неопределенностей вида , , .

Формула Тейлора(теорема31).

Пусть функция у=f(x) дифференцируема n-раз в точке x₀ и некоторой окрестности этой точки. Тогда для любой точки x из этой окрестности справедлива формула:

f(x)=f(x0)+++…++, остаточное слагаемое.

В форме Пеана o((x-x0)’), в форме Лагранжа *.

Частный вид формулы Тейлора при x0 носит название формулы Маклорена.

Формула Маклорена для некоторых элементарных функций.

Схема построения графика функции.

Для построения графика функции y=f(x) необходимо определить:

1)область допустимых значений аргумента функции. Четность, нечетность. Периодичность.

2)Асимптоты: а)вертикальные б)наклонные

3)область возрастания и убывания функции. Точки экстремумов.

4)направление выпуклости. Точки перегиба.

5)Точки пересечения с осями координат.

Асимптоты.

Определение: прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x),если выполняется хоть одно из условий: или ;

Определение: Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х--> (х-->-,если эта функция представима в виде y=kx+b+α(x) где α(x)0 при x(-.

Теорема 32 о необходимом и достаточном условии наличия наклонной асимптоты : для того чтобы функция y=f(x) имела наклонную асимптоту при x(- необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы:

Док-во : Необходимость: предполагается, что график функции y=f(x)имеет наклонную асимптоту: надо доказать, что выполняются соотношения: По определению, если функция имеет наклонную асимптоту y=kx+b, при х-->,то справедливо представление этой функции в виде:==+=k.= α(x)-kx)= α(x))=b-α(x))=b. Достаточность: предполагается, что выполняются равенства: Надо доказать, что y=kx+b является наклонной асимптотой Графика функции y=f(x), при х-->.воспользуемся вторым равенством.Док-во :Наличие предела у функции f(x)-kx означает, что f(x)-kx-b= α(x).где α(x) –бесконечно малая при x функция. Следовательно:f(x)=kx+b+ α(x).