§4.5.Кинематика ядерных реакций. Импульсная диаграмма

Напомним, что кинематикой называют раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел без учета действующих на тела сил. Движение любого тела в кинематике изучают по отношению к некоторой системе координат, позволяющей задать относительное положение движущегося объекта в любой момент времени. В ядерной физике обычно используют две системы координат: лабораторную (ЛСК), связанную с ядром-мишенью, и систему центра инерции (СЦИ), определение которой будет дано ниже.

Кинематическая схема ядерной реакции и связь между энергиями, импульсами и углами вылета частиц в ЛСКиСЦИимеет наглядное графическое представление и может быть проанализирована с помощьюимпульсной диаграммы(векторной диаграммы импульсов). Построение импульсной диаграммы основано на применении законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотрение выполним для случая, когда скорости движения объектов существенно меньше скоростисвета, т.е. когда массы частицm >> T – их кинетической энергии, и можно использовать законы классической механики.

Пусть имеется произвольная инерциальная система координат К', которая движется относительноЛСКсо скоростью. Тогда скоростьлюбой изi = 1, 2, 3, . . . ,Nчастиц вЛСКи скоростьвК'‑системе связаны следующим образом (принцип относительности Галилея):

.

(4.5.1)

Закон сохранения импульса для выбранной совокупности частиц записывается следующим образом:

,

(4.5.2)

Первое слагаемое в правой части есть суммарный импульс частиц вК'-системе, а второе - определяет импульс движенияК'-системы как целого относительноЛСК, который носит названиепереносного импульса. Соответствующим выбором вектора скоростиможно добиться, чтобы суммарный импульс частиц вК'-системе был равен нулю:

.

(4.5.3)

Система координат, в которой суммарный импульс частиц равен нулю, называетсясистемой центра инерции(СЦИ). Условимся величины, относящиеся кСЦИ, обозначать сверху значком “~” (тильда). Положив в (4.5.2)= 0, найдем скорость движенияСЦИотносительноЛСК:

.

(4.5.4)

Обратимся к рассмотрению процесса (4.1.1). Пусть в ЛСК частица а движется со скоростью , а ядро-мишеньА – покоится. Используя (4.5.4) найдем скорость движения центра инерции системы (или составного ядра, если таковое образуется) относительноЛСК:

.

(4.5.5)

Из сотношения (4.5.2) и (4.5.5) следует, что переносной импульс СЦИ относительно ЛСК равен импульсу частицы а в ЛСК:

.

(4.5.6)

Поместим ядро-мишень Ав начале координат (рис. 4.5.1). Если частицаадвижется параллельно осиХнавстречу частицеА, то из (4.5.5) следует, что координата центра инерциина осиХв любой момент времени связано следующим образом с координатойх_ачастицыа:

,

(4.5.7)

т.к. скорость движения вдоль осиХестьdx/dt. На рисунке показано, что центр инерции всегда располагается между частицамиаиА, двигаясь вдоль осиХсо скоростью, относительно ядра-мишениА.

Найдем с помощью (4.5.1) и (4.5.5) скорости движения частицы аи ядра-мишениАвСЦИи соответствующие им импульсы:

	(4.5.8)
	(4.5.9)

Таким образом, импульсы частиц аиАвСЦИравны друг другу и противоположно направлены, как и должно быть.

Используя (4.5.8) и (4.5.9),выразим суммарную кинетическую энергиючастицaиАвСЦИчерез кинетическую энергиюТ_a частицыa вЛСК

.

(4.5.10)

Кинетическая энергия есть энергия взаимного движения частицаиАи она меньше суммарной кинетической энергииТ₁=Т_ана величину

(4.5.11)

которая есть ничто иное, как кинетическая энергия движения центра инерции системы (или составного ядра) относительно ЛСК. Действительно, кинетическая энергия движения частицаиАотносительноЛСКравна

.

(4.5.12)

Очевидно, что кинетическая энергия (4.5.12) движения центра инерции системы не может перейти во внутреннюю энергию частиц и не может быть использована в ядерной реакции.

На этом закончим рассмотрение входного канала процесса (4.1.1) и перейдем к рассмотрению выходного канала.

В ЛСКсумма импульсов частицbиВ, образовавшихся в результате ядерной реакции, по закону сохранения импульса равна импульсу налетающей частицыа:

.

(4.5.13)

На рис. 4.5.2 представлена схема одного из возможных вариантов разлета продуктов реакции, а на рис. 4.5.3 графический аналог векторного уравнения (4.5.13). На этих рисункахи φ – углы вылета частицbиBотносительно направления движения частицыа. Очевидно, что отрезокСВна рис. 4.5.3 равен импульсуна рис. 4.5.2. Остальные величины совпадают с рис. 4.5.2. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать векторный треугольникАСВ(рис. 4.5.3).

Так как сумма импульсов частиц bиВотносительноЛСКсогласно (4.5.6) должна быть равна импульсу, т.е. (см. (4.5.6))

,

(4.5.14)

то отношение

,

(4.5.15)

и в соответствии с (4.5.15) точкаОна рис. 4.5.3 делит отрезокАВ=на отрезкиАО=иОВ=, т.е.АО/ОВ=m_a/M_A.

Очевидно, что ОС=, так как

,

(4.5.16)

а угол на рис. 4.5.3 - есть угол вылета частицыbвСЦИ.

Вектор , согласно свойствамСЦИ, равен векторупо абсолютной величине:

,

(4.5.17)

и направлен в противоположную сторону, т.е. частицы bиBвСЦИразлетаются с равными и противоположными импульсами.

Вычислим величину . Из формулы (4.4.6):

,

(4.5.18)

Или, учитывая (4.5.10),

.

(4.5.19)

Из последнего уравнения находим

,

(4.5.20)

где

(4.5.21)

- есть приведенная масса частиц bиB.

Полученные результаты можно использовать для построения векторной диаграммы импульсов, графически связывающей импульсы вЛСКиСЦИ. Для этого отрезокАВ, изображающий импульсР_а(рис. 4.5.4), надо разделить точкой Ов отношении.Затем из этой точки радиусом(4.5.20)следует провести окружность, которая является геометрическим местом точекСдля любого углавылета частицыb. Тогда, если известна хотя бы одна из величинР_b , Р_B , , φ, , ,то из диаграммы можно определить графически все остальные.

В случае упругого рассеяния (Q = 0) состав выходного канала тождественен составу входного канала и из (4.5.20) следует, что

.

(4.5.22)

Далее построение векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния не имеет особенностей и выполняется аналогичным образом.

Приведем теперь несколько примеров применения законов сохранения в ядерных реакциях.

Определим энергетический порогдля эндоэнергетической реакции. ВСЦИиз формулы (4.4.6) имеем

(4.5.22)

и, следовательно, минимальное значение (когда- продукты реакции неподвижны)составит

.

(4.5.23)

Используя (4.5.10) найдем минимальную кинетическую энергию частицы ав лабораторной системе координат (ЛСК):

.

(4.5.24)

Полученное значение кинетической энергии бомбардирующей частицы в ЛСК, при котором становится возможным протекание эндоэнергетической реакции, называетсяпорогом реакции.

Получим формулу (4.2.2) для вычисления возможной энергииW_c возбуждения составного ядра. По определению

,

(4.5.25)

где массы основного и возбужденного состояний составного ядра выражены в энергетических единицах.

Пусть ядро-мишень Апокоится. Запишем законы сохранения энергии и импульса для первой стадии реакции

a + A  С*,

(4.5.26)

стадии образования составного ядра С* (звездочка означает возбужденное состояние):

, .

(4.5.27)

Рассмотрение проведем для нерелятивистского случая, когда кинетическая энергия налетающей частицы Т_а≤ 10 МэВ<< m_a. Тогда

.

(4.5.28)

Подставляя (4.5.28) в (4.5.27),получим квадратное уравнение для нахождения:

.

(4.5.29)

В (4.5.29) последнее слагаемое составляет ничтожную долю от первых двух, так как. Поэтому в качестве первого приближения принимаем. Для получения второго приближения подставляем это выражение в (4.5.29).Получаем

.

(4.5.30)

Подставив (4.5.30) в (4.5.25), получим формулу

.

(4.5.31)

Первый член в этом выражении есть ни что иное, как энергия отделения частицыа от составного ядра (см., например, (1.4.17)). Второй член -суммарная кинетическая энергиячастицaиАдо реакции в системе центра инерции. Итак,

(4.5.32)

На рис. 4.5.5а приведена энергетическая диаграмма для экзоэнергетической реакции (Q > 0), а на рис. 4.5.5б - для эндоэнергетической реакции (Q < 0). На диаграммах изображен процесс образования составного возбужденного ядраи его распад с образованием частицBиb для обоих типов реакций.S_а = M_A+m_a - M_c – есть энергия связи частицыа, аS_b = M_B+m_b - M_c – частицыbотносительно составного ядра М_с соответственно.