§4.3.Сечения ядерных реакций

Факт ядерной реакции, как и все процессы в микромире, является случайным явлением. Поэтому для количественного описания возможности ядерной реакции необходимо использовать вероятностный подход. Такой количественной характеристикой вероятности протекания ядерной реакции является эффективное сечение, которое определяется следующим образом. Пусть на площадкуS = 1см²тонкой пластинки, содержащей ядра-мишениА, падает перпендикулярно однородный в пределах площадки поток- количество частица в единицу времени. Тонкой будем считать пластинку, в которой ядраАне затеняют друг друга. Оценим толщину пластинки. Так как размеры ядер меньше размеров атомов примерно в 10⁴раз, то соответствующие им площади будут различаться в 10⁸ раз. В твердом теле атомы упакованы плотно, поэтому необходимо 10⁸слоев атомов для заметного перекрытия ядерАдруг другом. Принимая диаметр одного атома примерно равным 10^-8см, получим, что толщинаδпластинки составит ~1см. В слоеdx << δзатенением ядер-мишеней можно пренебречь и возможное число реакций в 1см²пластинки

,

(4.3.1)

где n_А – концентрация ядер-мишенейА. Из (4.3.1) следует, что вероятность (доля) реакций составит

(4.3.2)

Запишем (4.3.2) в виде точного равенства:

,

(4.3.3)

где σ – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность площади, называется эффективным (микроскопическим) сечением ядерной реакции. В общем случае эффективное сечение зависит от кинетической энергии Т_ачастица, т.е..

Формулу (4.3.3) можно представить в виде

(4.3.4)

где dV– объем слоя dx, аN_A– число ядерАв этом слое. Выражение (4.3.4) есть ничто иное, как отношение эффективной площади всех ядер в пластинке, к площадиSпластинки толщиной. Поэтому эффективное сечение есть среднее значение площади, при нахождении в пределах которой частицаиАс определенной вероятностью должна произойти реакция, если последние считать точками. В ядерной физике для измерения сечений используется специальная единица, называемаябарн(б), 1б= 10^-24см².

Часто используется также величина макроскопического сечения

 = nА,

(4.3.5)

имеющей размерность длины. Физический смысл этой величины раскрывается ниже.

Перепишем (4.3.3) в виде

(4.3.6)

и разделим левую и правую части равенства (4.3.6) на бесконечно малый объем dV = Sdx. В результате получим

(4.3.7)

Вядерной физике оказалось удобным использовать величинуплотности потокачастицФ, определяющую интенсивность поступления частиц в заданный объем. Пусть в объем сферы (рис. 4.3.1) с площадью поперечного сеченияSпо всевозможным направлениям поступает однородный в пределах объема сферы поток частиц. Тогда по определению плотность потока частицаравна

(4.3.8)

Обозначим через - число реакций, происходящих в бесконечно малом объеме вещества мишени в единицу времени. С учетом этого и (4.3.8) выражение (4.3.7) принимает вид

,

(4.3.9)

где Ф_а – плотность потока частица. Выражение (4.3.9) будет в дальнейшем неоднократно использоваться.

Установим, как изменяется плотность потока частиц апри их движении в пластинке. Число реакций в единицу времени, происходящих в тонком слое мишени единичной площади и толщинойdx,равноdx, а с другой стороны равно убыванию плотности потока частиц в этом слое, то есть

dx= -dФа.

(4.3.10)

Используя (4.3.9)и (4.3.10) получаем дифференциальное уравнение для ослабления плотности потока частица:

dФа= -nАФаdx,

(4.3.11)

которое следует интегрировать с граничным условием Ф_а(х= 0) =Ф₀. Сечениетакже является функциейх, так в общем случае энергия частиц является функцией прйденного в мишени расстояния,но часто (например, в случае прохождения тепловых нейтронов через вещество) можно приближенно считать, чтоне зависит отx.Тогда, разделяя переменные в (4.3.11), получим после интегрирования:

=

(4.3.12)

Из (4.3.12) получаем вероятность частице aпройти без столкновений путьx:

=

(4.3.13)

Найдем среднюю длину пробега частиц адо первого взаимодействия:

(4.3.14)

Таким образом, макроскопическое сечение[см^-1] имеет смысл среднего числа взаимодействий частицаc ядрамиАна единице длины пути в мишени, то есть смыслкоэффициента поглощения в материале мишени.

Более подробной характеристикой ядерного взаимодействия (реакции или рассеяния) служит дифференциальное сечение:

(4.3.15)

Дифференциальное сечение определяет плотность вероятности продуктам (Вилиb) реакции (4.1.1) вылететь в пределах телесного углав направлении(рис. 4.3.2). Дифференцируя (4.3.3) поω, получим выражение

,

(4.3.16)

которое устанавливает связь между дифференциальным сечением и плотностью вероятности.

Если спины налетающих частиц и ядер в мишени ориентированы хаотично, то процесс взаимодействия обладает цилиндрической симметрией относительно оси, совпадающей с направлением движения частицы a, т.е. не зависит от полярного угла φ и определяется только азимутальным угломвылета одной из частиц.

(4.3.17)

Зависимость дифференциального сечения от угла вылета называетсяугловым распределением.

Интегрирование (4.3.17) по углу устанавливает связь между эффективным сечением и угловым распределением:

(4.3.18)

Часто вместо зависимости используют зависимость(Т_а,), где   cos.Тогда

.

(4.3.19)

На одних и тех же ядрах Апод действием частицамогут иметь место различные выходные каналы (см. (4.1.2)), каждый из которых характеризуется своим парциальными микроскопическимσ_iи макроскопическимΣ_i сечениями. Тогда, в соответствие с (4.3.6), сечения входного канала или полные сечения _tи Σ_tскладываются из парциальных сечений следующим образом:

.

(4.3.20)

Если же вещество мишени имеет в своем составе ряд различных нуклидов, концентрация ядер каждого из которых равна n_j,то в этом случае можно говорить только о полном макроскопическом сечении

,

(4.3.21)

где - микроскопическое сечение реакции видаiна ядрахj, или же о средней (приходящейся на одно ядро) величине микроскопического сечения реакции видаi:

.

(4.3.22)

Используя (4.3.14) и (4.3.20) или (4.3.21) можно рассчитать полную среднюю длину пробега частица:

,

(4.3.23)

Вероятность осуществления ядерной реакции, непосредственно измеряемая в физических экспериментах и позволяющая экспериментально определить макроскопическое сечение, есть выход ядерной реакции Y или простовыход. Выход определяется как среднее число частица, испытавших взаимодействие в единицу времени, отнесенное к полному числу частица, падающих на мишень макроскопических размеров в единицу времени. Вид формулы, связывающей выход и макроскопическое сечение, определяется конкретным видом ядерной реакции. Для примера рассмотрим процесс (4.3.12) на мишени толщинойd:

.

(4.3.24)

После небольших преобразований и логарифмирования получаем формулу для нахождения макроскопического сечения

,

(4.3.25)

если, как обычно, Y << 1.

Для экспериментального определения дифференциального сечения необходимо измерить угловое распределение продуктов реакции или рассеяния частиц а