§3.2.Основные законы радиоактивного распада

Радиоактивный распад – явление принципиально случайное. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное радиоактивное ядро, а можно лишь указать с какой вероятностью оно распадется за тот или иной промежуток времени. Распад отдельного радиоактивного ядра не зависит от присутствия других ядер и может произойти в любой интервал времени. Наблюдения за очень большим числом одинаковых радиоактивных превращений ядер позволяет установить вполне определенные количественные закономерности для характеристики процесса радиоактивного распада.

Естественная статистическая величина, характеризующая радиоактивный распад, – постоянная(иликонстанта)распадаλ – определяет вероятность распада ядра в единицу времени и имеет размерность [время]^‑1. Экспериментальные и теоретические исследования позволяют заключить, что постоянная распада λ не зависит, по-видимому, от времени, прошедшего с момента образования радиоактивного ядра, что отражено в названии.

Пусть радиоактивное ядро достоверно существует в некоторый момент времени t = 0, условно принимаемый за ноль. У такого ядра к произвольно выбранному моменту времениtможет реализоваться одна из двух возможностей:

1. ядро испытало радиоактивный распад и вероятность такого события равна ;

2. ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность такого события равна .

Очевидно, что

(3.2.1)

Установим, чему равна вероятность испытать ядру радиоактивный распад за интервал времени от t до (t+dt), т.е. предварительно не испытав распада за время. Вероятность такого сложного события

(3.2.2)

где λdt - вероятность распада ядра внутри временного интервала dt (постоянная распада λ не зависит от времени!). Используя (3.2.1) уравнение (3.2.2) приведем к виду

.

(3.2.3)

Поскольку ядро достоверно существует в момент времени , то имеем очевидное начальное условие. Тогда искомая вероятность составит

(3.2.4)

При помощи (3.2.1) и (3.2.4) найдем для ядра вероятность q(t)не испытать распада к моменту времени t:

(3.2.5)

Соотношения (3.2.4) и (3.2.5) содержат полное описание статистических свойств радиоактивного распада ядер и позволяют определить любые статистические характеристики распада.

Найдем среднее времяжизни ядра, используя определение для математического среднего:

(3.2.6)

поскольку – вероятность того, что ядро, прожив времяt, распадется за время между.

Пусть в момент времени t= 0 имелосьN₀радиоактивных ядер одной природы. Наиболее вероятное (ожидаемое) число ядерN(t), которые не испытают радиоактивного распада к моменту времениt,должносоставить

,

(3.2.7)

а соответственно число распавшихся ядер (d–decay– распад)

(3.2.8)

Формула (3.2.7) выражает основной закон радиоактивного распада. Следует еще раз подчеркнуть, что имеют смысл наиболее вероятного количества оставшихся и распавшихся радиоактивных ядер к моменту времениt. Реальные же количества радиоактивных ядер к моменту времениt могут быть как больше, так и меньше. Используемая далее в выражениях величинаN, если не оговорено иное, всегда имеет смысл среднего числа ядер.

В ядерной физике и ее приложениях используется еще одна временная характеристика распада – период полураспадаТ_1/2, которая определяет время, за которое первоначальное количество ядерN₀должноуменьшиться в два раза. Установим связь между периодом полураспадаТ_1/2и постоянной распада λ. По определению

(3.2.9)

откуда

(3.2.10)

Сравнивая это выражение с (3.2.6) устанавливаем,что

(3.2.11)

Для характеристики радиоактивных свойств вещества, т.е. совокупности большого числа радиоактивных ядер, служит специальная величина, характеризующая скорость радиоактивных превращений, которая называется активностью. АктивностьА(не путать с массовым числом А!) – среднее число ядер в образце, испытавших радиоактивный распад за единицу времени. Для радиоактивных ядер одной природы получим, используя (3.2.8):

(3.2.11)

Полученное выражение можно записать в следующем виде (учитывая (3.2.7)):

(3.2.12)

или же в виде

(3.2.13)

где - начальная активность образца.

Единицей измерения активности в СИ служит беккерель(Бк),

1 Бк= 1 распад/с.

Часто в практических приложениях используется другая единица измерения активности - кюри(Ки):

1 Ки= 3,7·1010Бк.

Активность, отнесенная к массе радиоактивного препарата, называется массовой удельной активностью. Для жидких и газообразных веществ иногда используютобъемную удельную активность.

Для характеристики радиоактивных свойств нуклида одной природы (без учета вторичных компонент, возникающих после распада) используют удельную активность нуклида– активность единицы массы этого нуклида:

,

(3.2.14)

т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени.

Для определения (а, следовательно,иТ_1/2) можно использовать формулу (3.2.12), если в некоторый произвольный момент времени измерить активность препарата и число радиоактивных ядер. Этим методом удобно пользоваться, когда период полураспада достаточно велик, и поэтому изменением числа радиоактивных ядер за время измерения активности можно пренебречь. Если период полураспадаТ_1/2не очень велик, то можно непосредственно снять кривую изменения активности через определенные интервалы времени. Затем по полученным значениям строят график зависимости натурального логарифма активности от времени. Постоянную распадаудобно находить, если записать(3.2.13) в виде:

(3.2.15)

Зависимость (3.2.15) представляет собой прямую, а определяется по тангенсу угла наклона этой прямой (рис. 3.2.1) или непосредственно по уменьшению активности вдвое.В реальных условиях экспериментальные точки имеют неизбежный разброс, определяемый статистической природой процесса радиоактивного распада. Для проведения через такие точки наиболее достоверной прямой обычно используютметод наименьших квадратов, в результате чего среднеквадратичное отклонение точек от найденной прямой будет минимальным.

Весьма распространенными являются случаи распада радиоактивных ядер с образованием не только стабильных, но и радиоактивных дочерних ядер. В последнем случае возникают цепочки распадов. Примером таких цепочек могут служить рассмотренные выше радиоактивные семейства. Баланс числа радиоактивных ядер при этом определяется следующими уравнениями:

	(3.2.16)
. . . . . . . . . . . . .

где индекс 1 относится к первичным материнским ядрам, а индексы 2, 3, . . . – к дочерним. Распад ядер N₁описывается обычным законом распада (3.2.7). Баланс ядер каждого дочернего вещества определяется скоростью собственного распада (активностью) и скоростью рождения, равной скорости распада ядер-предшественников. Решение каждого уравнения (3.2.16) зависит только от вида решения предшествующего. В простейшем случае, когда в начальный момент времени дочерних ядер нет, а количество материнских ядер равноN₁₀, решение каждогоk-го уравнения из (3.2.16) имеет вид:

(3.2.17)

Полное число радиоактивных ядер есть сумма всех количеств ядер N_k, существующих в данный момент времени.

Из общего решения (3.2.17) получаем решение для N₂(t):

(3.2.18)

Из (3.2.18)следует, что в момент времени

,

(3.2.19)

количество ядер N₂достигает своей максимальной величины

,

(3.2.20)

а затем монотонно убывает. Если ₁<<₂ (или(Т_1/2 )₁ >> (Т_1/2 )₂) иt » (Т_1/2 )₂, то из (3.2.18) в пределеt→ ∞ получаем

,

(3.2.21)

т.е. устанавливается динамическое равновесие между активностью материнского и дочернего препаратов, которое называется вековым равновесием. Вековое равновесие широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих материнских нуклидов по известным значениям₂ иотношениюN₂/N₁. Очевидно, что при выполнении соответствующих условий вековое равновесие может наступать для любой пары соседних элементов в цепочке распадов.

Другой предельный случай ₁>>₂ (или(Т_1/2 )₁ << (Т_1/2 )₂) приt » (Т_1/2 )₁дает зависимость

,

(3.2.22)

которая фактически является кривой распада дочернего вещества.