6.1. Корневые критерии устойчивости
1)
отрицательная вещественная часть
затухающий процесс
Устойчивая система.
2
)
положительные вещественные корни
незатухающий процесс
Неустойчивая система
3)
корни комплексно-сопряженные с
отрицательной вещественной частью
з
атухающие
гармонические колебания
С
истема
устойчива.
4
)
комплексно-сопряженные с положительной
вещественной частью
Неустойчивая система
5
)
комплексные
корни (чисто мнимые)
монотонный
колебательный процесс
гармонические колебания
с постоянной частотой и амплитудой.
Система на границе устойчивости.
Вывод: Чтобы САУ была устойчивой необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то процесс будет расходящийся а система – неустойчива.
Если корень равен 0, то малейшее появление отрицательной составляющей сделает процесс устойчиво колебательным, а положительной – неустойчиво колебательным.
Часто корни характеристического уравнения при анализе устойчивости систем изображают на комплексной плоскости – плоскости корней характеристического уравнения
Комплексная плоскость мнимой осью разбивается на 2 части. Левую сторону называют областью устойчивости, а правую –областью неустойчивого движения.
Если корни лежат на мнимой оси или в 0, то система находится на границе устойчивости.
Вывод: Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хоть один корень справа, то система неустойчива. Таким образом, мнимая ось есть граница, за которую корни не должны переходить.
Если система имеет хотя бы один нулевой корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то система находится на границе устойчивости. При этом выделяют 3 типа границ устойчивости линейных систем:
1. Апериодическая граница устойчивости, которая соответствует р=0. Когда корень – нуль, то в характеристическом уравнении и система будет устойчива относительно скорости изменения управляемой величины, а сама управляющая величина может принимать произвольное значение. Система являетсянейтрально устойчивой.
2. Колебательнаяграница устойчивости, которой соответствуют чисто мнимые корни
В связи с тем, что корни характеристического уравнения определять трудно для систем высокого порядка, были разработан целый ряд критериев, с помощью которых судят об устойчивости систем.
6.2. Алгебраические критерии.
6.2.1 Критерий устойчивости Гурвица.
При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем.
Необходимое условиеявляется справедливым для всех систем:
Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными
Н
еобходимое
условие является и достаточным для
систем 1-го и 2-го порядка.
Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными nглавных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):
