3.3. Уравнение первого закона термодинамики для движущегося рабочего тела

Уравнение первого закона для единицы массы стационарного потока (т. е. потока, параметры которого в любом сечении со временем не изменяются) можно вывести с помощью модели, показанной на рис. 3.2.

Рис. 3.2. К выводу уравнения первого закона термодинамики для движущегося рабочего тела

Здесь поток получает теплотуdq, совершает техническую работуdl, а также работу за счет изменения его кинетической энергииd(w²/2)и работу против силы тяжестиd(g*h)вследствие изменения его высоты над уровнем моря(h=h₂-h₁). Кроме того, имеет место работа вталкивания газаp₁*v₁и выталкиванияp₂*v₂. Их разностьl_пр=p₂*v₂-p₁*v₁называют работой проталкивания. Учитывая сказанное можно записать закон сохранения энергии для движущегося рабочего тела

(3.9)

Здесьu– внутренняя энергия рабочего тела.

Так как по определению u+p*v=i, полученное выражение можно переписать следующим образом

После интегрирования получим

(3.10)

Выражение (3.10) и есть уравнение первого закона термодинамики для движущегося рабочего тела.

Тема 4. Термодинамические процессы

4.1.Схема анализа изменения состояния рабочего тела

При исследовании термодинамических процессов используются уравнение состояния идеальных газов и математическое выраже­ние первого закона термодинамики.

При изучении термодинамических процессов идеальных газов требуется:

1) определить уравнение кривой процесса в pv-диаграмме;

2) установить связь между термодинамическими параметрами;

3) определить изменение внутренней энергии рабочего тела по формуле, справедливой для всех процессов идеального газа,

(4.1)

4) определить величину внешней (термодинамической) удельной работы по формуле

(4.2)

5) определить количество теплоты, участвующей в термодинамическом процессе, по формуле

(4.3)

где c_x– теплоёмкость процесса;

6) определить изменение энтальпии в термодинамическом процессе по формуле

h2-h1 =

(4.4)

7) определить изменение энтропии в термодинамическом процессе по формуле, справедливой для всех процессов идеального газа,

(4.5)

В общем случае любые два термодинамических параметра из трех могут изменяться произвольно. Изучение работы тепловых машин показывает, что наибольший интерес для практики представляют следующие основные процессы: при постоянном объеме (V=const); при постоянном давлении (р=const); при постоянной температуре (Т=const); приdq=0(процесс, протекающий без теплообмена рабочего тела с окружающей средой); политропный процесс, который при определенных условиях можно рассматривать в качестве обобщающего по отношению ко всем основным процессам.

Чтобы получить обобщенные и простые формулы, уравнения первого закона термодинамики рассматриваются для 1 кг идеального газа.

4.2.Термодинамические процессы: изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный, политропный

4.2.1.Изохорный процесс (v=const)

Такой процесс может совершаться рабочим телом, находящимся в цилиндре при неподвижном поршне, если к рабочему телу подводится теплота от источника теплоты (см. рис. 4.1) или отводится теплота от рабочего тела к холодильнику. При изохорном процессе выполняется условие dv=0илиv=const. Уравнение изохорного процесса получим из уравнения состояния идеального газа (см. &1.6) приv=const. Вpv-координатах график процесса представляет собой прямую линию, параллельную осиp. Изохорный процесс может протекать с повышением давления (процесс 1-2) и с понижением (процесс 1-2’).

Рис. 4.1. График изохорного процесса в p-vкоординатах

Запишем для точек 1 и 2 уравнения состояния:p₁·v=R·T₁; p₂·v=R·T₂. Следовательно, для изохорного процесса

(4.6)

Приращение внутренней энергии газа

(4.7)

Работа газа

так как dv=0.

Энтальпия газа i_v=u+p·v, а di_v=du+d(p·v)=du+p·dv+v·dp=du+v·dp. Поэтому

(4.8)

Энтропия

То есть

(4.9)

4.2.2.Изобарный процесс (p=const)

В p-vкоординатах график процесса представляет собой прямую линию параллельную оси v (рис. 4.2). Изобарный процесс может протекать с увеличением объёма (процесс 1-2) и с уменьшением (процесс 1-2’). Запишем для точек 1 и 2 уравнения состояния:p·v₁=R·T₁;p·v₂=R·T₂.

Рис. 4.2. График изобарного процессав p-vкоординатах

Следовательно, для изобарного процесса

(4.10)

Приращение внутренней энергии газа Работа газа Так какp·v₂=R·T₂, аp·v₁=R·T₁, тоl=R·(T₂-T₁). Следовательно, газовая постоянная имеет определённый физический смысл: это работа 1 кг газа в изобарном процессе при изменении температуры на один градус. Из выражения (4.3) следует, что в изобарном процессеq=c_p·(T₂-T₁). В соответствии с первым законом термодинамики для изобарного процесса можно записатьdq=du+p·dv= du+d(p·v)=di. Поэтому в изобарном процессеdi=q=c_p·(T₂-T₁). Из соотношений, характеризующих изобарный процесс, вытекает известное уравнение Майера. Так какdq=c_p·dT=c_v·dT+dl=c_v·dT+R·dT, тоR=c_p-c_v.

Используя выражение (4.5), можно показать, что в изобарном процессе энтропия газа

(4.11)

4.2.3.Изотермический процесс (T=const)

В p-vкоординатах график процесса изображается равнобокой гиперболой (рис. 4.3). Изотермический процесс может протекать как с увеличением объёма (процесс 1-2), так и с уменьшением объёма (процесс 1-2’).

Рис. 4.3. График изотермического процесса в p-vкоординатах

Запишем для точек 1 и 2 уравнения состоянияp₁·v₁=R·T; p₂·v₂=R·T. Следовательно, для изотермического процессаp₁·v₁=p₂·v₂=const.

Приращение внутренней энергии газа

Работа газа

(4.12)

Теплота, подводимая в процессе

(4.13)

Изменение энтальпии газа Δi=Δu+Δ(p&middotv)=0.

Изменение энтропии газа

(4.14)