9.4.1.Дифференциальное уравнение теплопроводности

Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся методом математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с(теплоемкость), иρ(плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величинойq_v— количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQ_вни внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводностиdQ_mза времяdτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме:

.

(9.10)

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz(рис. 9.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадкуdy·dzза времяdτ:

Рис. 9.1. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

.

На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение и будет составлять .

Количество тепла, отведенного через эту грань:

.

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX:

.

Аналогично:

.

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности

.

Здесь произведение dx·dy·dzпредставляет собой объем элементарного параллелепипедаdv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников:

.

Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкостьси приращение температуры :

.

Подставляя выражения для dQ_m, dQ_вниdUв уравнение (9.10), после соответствующих сокращений получаем:

.

(9.11)

Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:

.

Величину называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквойa. В указанных обозначениях уравнение (9.11) примет вид:

.

(9.12)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности aявляется физическим параметром вещества. Из уравнения (9.12) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величинеa.