3-15-1 Мат. модели

Рис. 1. Схема полигона АГ и варианты плана формирования поездов

21

P (X ≥ х ) + P (X < х) = 1.

2.2. Аналогично определяем вероятность выделения потока N4 в самостоятельное назначение при N4 ≥ 300:

2.3. Поскольку вагонопотоки N1 и N4 независимы, то вероятность P(A1) события A1 одновременного их выделения в самостоятельное назначение, а, следовательно, что то же самое, вероятность P(A1) выполнения полученного плана формирования поездов (вариант 1, рис. 1) в соответствии с теоремой умножения вероятностей независимых событий будет равна:

b

Рис. 2. Определение вероятностей Р(А5) = РВ(А4) и Р(А6) = РB(А4)

22

P(A1) = Р [(N1 ≥ 154) (N4 ≥ 300)] =

=Р (N1 ≥ 154) Р (N4 ≥ 300) = 0,5517 0,8461 = 0,4668.

3.Проанализируем различные варианты плана формирования поездов при случайных событиях

A2 = (N1 ≥ 154, N4 < 300), A3 = (N1 < 154, N4 ≥ 300),

A4 = (N1 ≥ 154, N4 ≥ 300).

Значения N1 = 154 и N4 = 300 назовем критическими.

3.1. Пусть не отвечает необходимому условию вначале более короткое назначение БГ с вагонопотоком N4 при сохранении вагонопотока N1 ≥ 154 по назначению АГ.

Вероятность P (N4 < 300) определена и равна 0,1539. Вероятность P(A2) такого варианта (варианта 2), как вероятность совпадения двух независимых случайных событий N1 ≥ 154 и N4 < 300 определяется в соответствии с теоремой умножения вероятностей независимых событий:

P(A2) = Р [(N1 ≥ 154) (N4 <300)] = Р (N1 ≥ 154)

Р (N4 < 300) = 0,5517 0,1539 = 0,0849.

На рис. 1 представлен вариант 2 плана формирования поездов:

N1 ≥ 154 (АГ), N2 + N4 = 90 (АБ), [(N2 = 40) + (N4 < 300) + (N5 = 30)] (БВ),

[(N4 < 300)+(N5 = 60)] (ВГ).

3.2. Пусть N1 < 154, а N4 ≥ 300, тогда получим вариант 3 (рис.1) плана формирования поездов с вероятностью:

P(A3) = Р [(N1 < 154) (N4 ≥ 300)] = Р (N1< 154)

Р (N4 ≥ 300) = 0,4483 0,8461= 0,3793.

23

В самостоятельное сквозное назначение выделяется только вагонопоток N4 ≥ 300.

Проверим, удовлетворит ли необходимому условию (5) в этом варианте объединение потоков N1 и N2 для формирования сквозного назначения поездов в направлении АВ. Возьмем наибольшее возможное значение, равное критическому N1 = 154, и объединим с N2 = 40:

(N1 =154) +( N2 = 40) =194.

Для объединения N1 и N необходимо, чтобы их сумма была бы не меньше требуемой (условие (5)):

Но поскольку (N1 =154) + (N2 = 40) =194 < 286, то объединение только вагонопотоков N1 и N2 для формирования сквозного назначения поездов в направлении АВ нецелесообразно. В результате получим вариант 3 плана формирования поездов (рис 1) :

[(N1< 154 ) + (N2 = 40) + (N3 = 50)] (АБ),

[(N1 < 154) + (N2 = 40) +(N5 = 30)] (БВ),

N4 ≥ 300 (БГ),

[(N1 < 154)+(N6 = 60)] (ВГ).

3.3. Пусть оба вагонопотока N1 и N4 одновременно меньше критических значений: N1< 154 и N4 < 300. Вероятность этого события, − вероятность P (A4) получения варианта 4 плана формирования поездов равна:

P (A4) = Р [(N1 < 154) (N4 <300)] = Р (N1 < 154)Р (N4 < 300) = 0 ,4483 0 ,1539 = 0,069.

24

4. Выводы:

4.1. Установлены всевозможные варианты плана формирования поездов, соответствующие следующим случайным событиям и вероятностям их наблюдения:

Вариант 1 A1 = (N1 ≥ 154) (N4 ≥ 300), P(A1) = 0,4668. Вариант 2 A2 = (N1 ≥ 154) ( N4 < 300), P(A2) = 0,0849. Вариант 3 A3 = (N1 <154) (N4 ≥ 300), P(A3) = 0,3793.

Вариант 4 A4 = (N1 <154) ( N4 < 300), P(A4) = 0,069.

События A1, A2, A3, A4 являются несовместными и составляют полную систему событий. На основании теоремы о вероятности суммы событий , составляющих полную систему при суммировании вероятностей событий A1, A2, A3, A4 должны получить 1:

P(A1 + A2 + A3 + A4)= P (A1) + Р (A2 ) + Р (A3 ) + Р (A4 )=

= 0,4668 + 0,0849 + 0,3793 + 0,069 =1,0000.

Полученный результат свидетельствует о правильности выполненного вероятностного анализа плана формирования поездов в соответствии с исходными данными примера.

4.2.Из всех четырех вариантов плана формирования поездов

вариант 1 имеет наибольшую вероятность P (A1 ) = 0,4668. Это означает, что вариант 1 является оптимальным для организации вагонопотоков на полигоне АГ.

4.3.Общее число вариантов плана формирования поездов равно числу событий, определяемых с помощью критических значений вагонопотоков и составляющих полную систему событий, сумма вероятностей которых равна 1. Исходные данные примера предопределили 4 варианта плана формирования поездов.

5. Вариант 4, соответствующий событию A4 , возможен в любом из двух случаев:

1) B = N1+ N4 < 300, что вызывает необходимость расмотрения варианта 4a плана формирования поездов без какоголибо одного сквозного назначения,

25

– ≥

2) B = N1+ N4 300, тогда появляется необходимость рассмотрения варианта 4b плана формирования поездов, в котором будет иметь место одно сквозное назначение БГ.

5.1. Представление варианта 4 в виде двух вариантов дает основание и позволяет в соответствии с законами алгебры событий выразить событие A4 в виде суммы двух несовместных событий A5 и A6 :

A4 = A5 + А6,

где A4 = (N1 < 154) (N4 < 300), A5 = (N1 <154, N4 <300,

N1 + N4 < 300), A6 = (N1 < 154, N4 < 300, N1 + N4 ≥ 300).

Таким образом, вариант A4 представляется одним из вариантов, безразлично каким, либо вариантом 4a (событие A5), либо

Используя теорему о вероятности суммы несовместных событий, получим:

P (A4) = Р(A5 + A6) = Р (A5)+ Р (A6 )= Р B (A4) + Р B (A4) ,

где P (A5) = P B (A4), P (A6) = P B (A4) .

5.2. Вероятность P (A4) = 0,069. Однако, при критических значениях вагонопотоков N1 и N4, отличающихся от N1=154 и N4 = 300 и при других параметрах M(N1), σ(N1), M(N4), σ(N4), а также при иных законах распределения вероятностей случайных величин N1 и N4, вероятность P (A4) может оказаться значительно больше, чем P (A4) = 0,069. И тогда появится необходимость определить вероятности P (A5) и P (A6).

6. Рассмотрим вариант 4а и определим вероятность P(A5) = P B (A4) его получения.

26

В силу невыполнения условия (5) при A5 = (N1 < 154, N4 < 300,N1 + N4 < 300) вариант 4а не имеет ни одного сквозного назначения, его график представлен на рис. 1:

Двумерная случайная величина (N1, N4) описывается двумерным нормальным распределением, удовлетворяющим не обходимому и достаточному условию независимости случайных величин N1 и N4. Вероятностную математическую модель события A5 =B(A4) представим вероятностью попадания двумерной случайной точки (N1, N4) в часть области плоскости (0 ≤ N1 ≤ 154, 0 ≤ N4 ≤ 300), ограниченную осями координат ОN1 и ON4 и прямой N1 + N4 =300 в поле трапеции Oaa1b1 (рис. 2) [3]. Очевидно, что при этом выполняются условия получения вари-

анта 4a: N1 < 154, N4 < 300, N1 + N4 < 300.

Условия получения варианта 4b, а именно, N1 <154, N4 <300, N1 + N4 ≥ 300 будут выполнены, если точка (N1, N4 ) попадает в поле треугольника аа2а1 .

Вероятностная математическая модель события A5 =B(A4) предполагает следующий порядок определения вероятности

Р(A5) = РB(A4) [Доп. 2].

6.1. Трапецию Oaa1b1 разобьем на ряд частичных трапеций; чем больше их число, тем точнее будет результат; с целью сокращения объема расчетной работы ограничимся всего лишь тремя частичными трапециями S1 =(Oaa3b3), S 2 =(b3a3a4b2),

S3 =( b2а4а1b1 ).

6.2.Частичные трапеции заменим равными по площади

что дает основание считать, что и вероятности попадания точки (N1, N4 ) в фигуры трапеций и прямоугольников, равных по площади, также равны.

27

Равенство вероятностей попадания точки (N1, N4 ) в фигуру трапеции и прямоугольника является приближенным в силу «выхода» фигуры прямоугольника в область (N1, N4 ) (N1 <154, N4 <300, N1 + N4 ≥ 300). В связи с этим рекомендуется разбить отрезок [0; b1] на оси O N1 не на три, как показано на рис. 2, а на большее число частичных отрезков.

6.3. Используем выражение для определения вероятно-

где N1 и N4 – нормально распределенные случайные величины, Ф(х) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины N (х,0;1) (функция Лапласа).

При выполнении расчетов:

1)используется таблица значений функции Лапласа Ф(х), приведенная в приложении 3,

2)необходимо иметь ввиду свойство функции Ф(х):

Ф(– х) = 1–Ф( х) , 3) функцию Лапласа Ф(х) можно заменить нормированной

функцией Лапласа Ф0 (х )

таблица значений которой приводится в приложении 2.

28

Однако, при этом надо иметь ввиду свойство нечетности функции Ф0 (х ) т.е. Ф0 (−х )= −Ф0 (х ).

29

=(0,4483 − 0,0968) (0,0102 − 0)= 0,0036.

6.5.Вероятность Р(A5) = РB(A4) определяется суммой:

7. Рассмотрим вариант 4b и определим вероятность Р(A6 ) =

= Р–(A ) его получения.

B 4

Случайному событию А4 =(N1 < 154, N4 < 300) соответствует попадание двумерной случайной точки (N1, N4) в поле прямоугольника (Oaa2b1) (рис. 2) с вероятностью:

события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий имеем

30