5. Масштабируем схему нормированного ФВЧ в соответствии с выра-

жениями (10), (11), (12):

R1 = R2 = Kz R1′ =600 1 = 600(Ом).

Схема искомого ФВЧ здесь не приводится, поскольку она отличается от схемы нормированного ФВЧ (рис.9) только отсутствием штрихов в обозначениях элементов.

На этом синтез ФВЧ завершён. Методика построения и анализа АЧХ и ФЧХ для ФВЧ такая же, как для ФНЧ.

Расчёт ПФ

Важным свойством ПФ является геометрическая симметрия его АЧХ. Это означает, что если по горизонтальной оси отложить логарифм частоты, а по вертикальной величину затухания и построить АЧХ фильтра, то она окажется симметричной относительно некоторой центральной частоты f0. Последняя может быть вычислена с помощью соотношения:

где fc1 - нижняя, а fc2 - верхняя частоты среза.

ПФ бывают двух видов - узкополосные и широкополосные. Широкополосными считаются такие ПФ, у которых отношение верхней частоты среза к нижней превышает 1,5 или, что то же, относительная ширина полосы пропус-

кания ∆= (∆fc / f0) 100% > 40 %.

У узкополосных фильтров с отношением fс2 fc1 <11, (или ∆ <10%)

форму АЧХ можно положить заведомо симметричной, идя при этом на определённое допущение. В этом случае центральная частота фильтра находится как среднее арифметическое между верхней и нижней частотами среза, то есть

Расчёт широкополосного ПФ

Широкополосный ПФ можно рассматривать как два отдельных фильтра, ФНЧ и ФВЧ, каждый со своими характеристиками. ФНЧ и ФВЧ рассчитываются отдельно в соответствии с уже рассмотренными методиками. Далее ФНЧ

21

и ФВЧ соединяются каскадно, при этом будут соблюдены общие требования к ПФ.

Рассмотрим пример широкополосного ПФ.

Пусть требуется рассчитать полосовой фильтр с затуханием не более 1 дБ в полосе пропускания, гарантированным затуханием не менее 50 дБ в полосе задерживания. Нижняя и верхняя частоты среза полосы пропускания: 150 Гц и 350 Гц, граничные частоты полосы задерживания: 50 Гц и 900 Гц, сопро-

fc2 fc1 =350 150 = 2,333 >1,5 . Таким образом, искомый ПФ является широко-

полосным и потому может быть представлен в виде двух отдельных фильтров (ФНЧ и ФВЧ) следующим образом.

ФНЧ: amax=1 дБ, fc=350 Гц, amin=50 дБ, fs=900 Гц, R1=R2=200 Ом. ФВЧ: amax=1 дБ, fc=150 Гц, amin=50 дБ, fs=50 Гц, R1=R2=200 Ом.

Расчёт ФНЧ и ФВЧ проводится по описанным выше правилам. На завершающем этапе полученные схемы ФНЧ и ФВЧ включаются цепочкой, образуя двухкаскадную цепь. Считается, что таким образом требования к широкополосному ПФ оказываются выполненными. Хотя, в действительности, в подобной схеме могут проявиться некоторые паразитные эффекты, связанные с взаимным влиянием каскадов друг на друга. Обычно они являются незначительными, особенно для фильтров с большим отношением верхней и нижней частот среза полосы пропускания.

Окончательное решение о возможности реализации ПФ в виде каскадного соединения ФНЧ и ФВЧ принимается по результатам анализа частотной характеристики рабочего затухания такого соединения. Если рабочее затухание в полосе пропускания и полосе задерживания не отвечает требованиям технического задания, то:

во-первых, нужно показать – почему (приведя отвечающие требованиям задания частотные характеристики рабочего затухания ФНЧ и ФВЧ, полосовой фильтр образующих);

во-вторых, рассчитать ПФ по методике узкополосного.

Расчёт узкополосного ПФ

Расчёт ПФ выполняется с использованием ФНЧ-прототипа и основан на особом правиле соответствия между ФНЧ и ПФ. По этому правилу АЧХ ФНЧ преобразуется в АЧХ ПФ так, чтобы ширина полосы пропускания оставалась постоянной. Это означает, что при одном и том же уровне затухания ширина полосы пропускания ПФ равна частоте среза ФНЧ. Приём, используемый при расчёте ПФ, заключается в преобразовании полосы пропускания АЧХ искомого ПФ к ФНЧ и использовании (как и при расчёте ФВЧ) табулированных нор-

22

мированных ФНЧ различного порядка. Первый шаг расчёта - преобразование полосы пропускания ПФ - осуществляется следующим образом.

По одной из формул [(15) или (16)] вычисляется центральная частота фильтра f0. В соответствии с присущим ПФ правилом симметрии АЧХ частота f0 является средним геометрическим между частотами, находящимися по разные от неё стороны и соответствующими одинаковому затуханию, то есть должно выполняться следующее условие:

где fa и fb - нижняя и верхняя по отношению к f0 частоты, соответствующие одинаковому уровню затухания.

Примечание. Возможны два варианта задания исходных данных ПФ.

1 вариант. Заданы fc1 и fc2, а f0 - нет.

В этом случае f0 следует определить по формуле (15) или (16).

2 вариант. Заданы f0 и ширина полосы пропускания ∆ fс= fc2 − fc1 , а fc1 и

fc2 - нет.

Тогда нужно определить значения fc1 и fc2, решив одну из систем уравне-

ний:

Чтобы свести заданные в условии задачи требования к искомому узкополосному ПФ к параметрическим величинам, описывающим нормированный ФНЧ, необходимо выполнить ряд операций. Если центральная частота ПФ уже известна, то приведённое правило требует, чтобы на уровне заданного гарантированного затухания граничные частоты полосы задерживания удовлетворяли соотношению (17).

Для этого с помощью (17) для уровня гарантированного затухания определяют две новые пары граничных частот полосы задерживания: одну, задавшись центральной частотой f0 и нижней граничной частотой fs1, а другую - той же f0 и нижней граничной частотой fs2. В наибольшей степени удовлетворяющей требованиям считается та из них, которая даёт меньшее значение ширины полосы задерживания (∆ fs= fs2 − fs1) при обязательном соответствии требо-

ваниям технического задания. Она затем и выбирается для дальнейших рас-

где под шириной полосы задерживания понимается разность между вычисленными по рассмотренному выше правилу нижней и верхней граничными частотами полосы задерживания выбранной пары.

23

Крутизна нормированного ФНЧ-прототипа равна найденной по формуле (19) крутизне ПФ. Поэтому теперь можно определить требуемый порядок ФНЧ-прототипа с помощью выражения (2) или (4), заменив в знаменателе отношение ωs / ωc крутизной ПФ.

Дальнейшие операции с ФНЧ-прототипом уже знакомы. Вначале нужно определить значение его нормированной частоты среза (если она отлична от 1 рад.), а затем рассчитать частотный масштабный множитель Kf по формуле (6), приняв в ней частоту среза денормированного ФНЧ равной ширине полосы пропускания требуемого ПФ(ωc ФНЧ = ∆ωс ПФ = 2π∆fc ПФ ). Масштабный множитель Kz определяется так же, как в рассмотренных выше случаях (ФНЧ и ФВЧ).

Затем выбирается принципиальная схема ФНЧ n-го порядка, значения её реактивных элементов выписываются из соответствующей таблицы Приложения 1. По описанному выше правилу нормированный ФНЧ-прототип масштабируется по частоте и импедансу с использованием формул (10), (11), (12) так, чтобы, во-первых, частота среза его полосы пропускания совпадала с шириной полосы пропускания ПФ, а во-вторых, импеданс равнялся импедансу источника и нагрузки рассчитываемого ПФ.

Следующий этап расчёта ПФ - преобразование денормированного ФНЧпрототипа в искомый ПФ.

Вначале преобразуется схема: в схеме ФНЧ последовательно с каждой катушкой индуктивности подключается конденсатор, а параллельно каждому конденсатору - катушка индуктивности. В результате на месте реактивных элементов в схеме ФНЧ оказывается включённым последовательный или параллельный колебательный контур. Неизвестные параметры каждого контура определяются из условия, чтобы резонансная частота его совпадала с геометрически центральной частотой ПФ f0. Искомые значения дополнительных реактивных элементов вычисляются с помощью приведённых ниже соотношений, а именно:

Пример расчёта узкополосного ПФ

Требуется рассчитать ПФ с характеристикой Чебышёва, с центральной частотой f0 =175 Гц, полосой пропускания ∆ fс=14 Гц, неравномерностью затухания в полосе пропускания ∆a=amax=0,28 дБ, гарантированным затуханием amin=70 дБ в полосе задерживания с граничными частотами fs1=150 Гц и

24

fs2=200 Гц, подключаемого к цепям с входным сопротивлением 600 Ом

(R1=R2=R=600 Ом).

2. В связи с тем, что отношение граничных частот полосы задерживания f s2 f s1 = 200150 =1333, >11,, определяем две пары геометрически сопря-

жённых частот полосы задерживания:

∆f s = f s2 − f s1 = 200 −153125, = 46,875 Гц.

Очевидно, что первая пара заведомо не отвечает требованиям технического задания, так как определяет затухание, меньшее требуемого, на участке от 200 до 204,17 Гц. Вторая пара частот удовлетворяет требованиям. Поэтому она и выбирается для дальнейших расчётов.

3. Крутизна ПФ As = 46,87514 = 3,3482. Порядок ФНЧ-прототипа

4. Поскольку максимально допустимое в полосе пропускания затухание совпадает с размахом пульсаций, amax = ∆a, то частота среза нормированного ФНЧ ωˆс =1рад. Частота среза денормированного ФНЧ-прототипа

ωc = 2π∆fc = 2π 14 =87,96 (радиан/с).

Частотный масштабный множитель K f =ωc =87,96 . Коэффициент масштабирования импеданса Kz = 600 .

25

5. Выбираем принципиальную схему ФНЧ-прототипа 6-го порядка

(рис. 10)

Рис.10 Cхема ФНЧ-прототипа 6-го порядка.

Выписываем параметры элементов этой схемы из таблицы П. 1.7.

7. Преобразуем схему ФНЧ в схему ПФ (рис. 11)

26