Министерство путей сообщения Российской Федерации МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра “Автоматика и телемеханика на железнодорожном транспорте”

Е.Г.Щербина, Ю.А.Барышев

Утверждено редакционно-издательским советом университета

РАСЧЁТ ПАССИВНЫХ LC-ФИЛЬТРОВ

Методические указания к курсовому проектированию

по дисциплине “Теория линейных электрических цепей

железнодорожной автоматики, телемеханики и связи”

для студентов специальности “Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте”

Издание второе, исправленное

Москва – 2003

УДК 621.391:656.25-50

Щ 64

Щербина Е.Г., Барышев Ю.А. Расчёт пассивных LC-фильтров. Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и свя-

зи».- М.: МИИТ, 2002,-36 с.

В методических указаниях представлены методики табличного расчёта пассивных LC-фильтров, используемые в курсовом проектировании, рассмотрены примеры расчёта фильтра нижних частот, фильтра верхних частот, полосового фильтра и режекторного фильтра. Методические указания предназначены в первую очередь для студентов специальности 210700 «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте», выполняющий курсовой проект, но могут быть полезными также при работе над дипломным проектом и в практической инженерной деятельности.

© Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2003

Учебно-методическое издание

Щербина Евгений Геннадьевич, Барышев Юрий Алексеевич

РАСЧЁТ ПАССИВНЫХ LC-ФИЛЬТРОВ

Методические указания к курсовому проектированию

2

Предисловие

В настоящих методических указаниях описаны методики табличного расчёта фильтров (нижних частот, верхних частот, полосовых и режекторных), позволяющие разработать реальные схемы по требованиям к частотной характеристики рабочего затухания (или, что то же - рабочей амплитудно-частотной характеристике). В этом плане приводимые сведения могут быть использованы не только в учебном процессе, но и в инженерной практике. Однако спектр рассматриваемых задач авторами сознательно сужен. При проектировании фильтров также приходится решать задачи, здесь не затронутые. Так, не рассмотрены вопросы расчёта фильтров по заданным временным параметрам, требованиям к линейности фазочастотной характеристики. За рамками методических указаний также остались особенности расчёта фильтров с учётом потерь в реальных элементах, вопросы выбора элементной базы. Приводимый материал позволяет рассчитать только двусторонне нагруженные симметричные фильтры Баттерворта и Чебышёва до 9-го порядка включительно.

Тем не менее, принятый объём излагаемого материала представляется авторам наиболее целесообразным для освоения принципиального подхода к проектированию фильтров (общего как для пассивных, так и для активных фильтров) и является вполне достаточным для выполнения учебных задач, соответствующих теоретической подготовке студентов III-го курса специальности “Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте”, предусмотренных учебным планом по дисциплине “Теория линейных электрических цепей”.

Математические вычисления, необходимые при расчёте фильтров, ориентированы на инженерный микрокалькулятор, а при построении амплитудночастотных характеристик - на персональный компьютер и язык программирования ФОРТРАН или Mathcad.

Цель и содержание курсового проекта

Целью курсового проекта является овладение практическими методами расчёта пассивных LC-фильтров и анализа их рабочих характеристик, закрепление знаний курса теории линейных электрических цепей, получение навыков самостоятельного решения инженерных задач.

Курсовой проект состоит в расчёте пассивных LC-фильтров, отвечающих техническим требованиям, сформулированным в индивидуальном задании, выборе их схем и проверке правильности расчёта и выбора. Проверка выполняется решением задачи анализа и состоит в построении амплитудночастотных и фазочастотных характеристик полученных фильтров методами теории цепей.

Примерная структура курсового проекта следующая.

1.Задание на курсовой проект.

2.Содержание.

3

3.Введение.

4.Расчёт фильтра нижних частот (верхних частот, полосового, режекторного) Баттерворта (Чебышёва)

- исходные данные; - расчёт фильтра (пояснения, обоснование, формулы, результаты, схе-

мы);

- построение амплитудно- и фазочастотной характеристик фильтра (эквивалентные схемы, математическая модель, графики частотных зависимостей рабочего затухания и рабочего коэффициента фазы, модуля и аргумента комплексной передаточной функции фильтра);

- анализ параметров частотных зависимостей и оценка их на предмет выполнения требований технического задания.

5.Выводы по курсовому проекту в целом.

6.Список использованных источников.

7.Приложения (блок-схемы и исходные тексты программ, результаты выполнения программ расчёта частотных характеристик).

Курсовой проект должен быть оформлен в соответствии с требованиями государственных стандартов [10, 11 ,12].

Теоретические основы

Электрическим фильтром (фильтром) называется линейный четырёхполюсник, предназначенный для выделения из состава сложного электрического колебания, подведённого к его входу, частотных составляющих, расположенных в заданной полосе частот, и подавления тех составляющих, которые расположены в других, также заданных, полосах частот. Указанные частотные полосы называют полосой пропускания и полосой задерживания.

По взаимному расположению полос пропускания и задерживания различают фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров перечисленных типов приведены на рис.1. Их надлежит аппроксимировать функциями, в которых выражаются частотные характеристики электрических цепей.

Рис.1. Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров.

4

Требования к амплитудно-частотной характеристике фильтра формулируются обычно в виде требований к частотной зависимости рабочего ослабления(затухания) фильтра. Последнее нормируется так, чтобы в пределах полосы пропускания минимальное значение ослабления фильтра было равно нулю. Тогда ослабление фильтра в его полосе пропускания не должно превышать некоторой заданной величины amax , называемой максимальным затуханием фильтра в полосе пропускания, а в пределах полосы задерживания фильтра не должно принимать значений, меньших, чем это допускается техническими требованиями к фильтру. Гарантированное значение ослабления в полосе за-

держивания фильтра называется минимальным затуханием фильтра в поло-

се задерживания amin .

Техническое задание на проектирование фильтра должно также включать требования к входному сопротивлению внешних цепей. Обратное входное (или выходное) сопротивление цепи, подключаемой к входным зажимам фильтра, можно рассматривать как внутреннее сопротивление некоторого эквивалентного генератора R1 , а входное сопротивление цепи, подключаемое к выходным зажимам - как сопротивление нагрузки фильтра R2. На практике часто эти сопротивления равны между собой. Параметры ослабления, задаваемые при проектировании фильтра, являются рабочими (в отличие от, например, характеристических, вносимых, и т.д.). Они оценивают режим системы передачи сравнением его со случаем отбора от генератора наибольшей мощности.

Амплитудно-частотные характеристики реальных фильтров, в отличие от идеальных, характеризуются также наличием некоторой полосы перехода (переходной области частот), в которой ослабление фильтра не нормируется и возрастает от значений, допустимых в пределах полосы пропускания, до значений, требуемых в полосе задерживания фильтра. Таким образом, полоса пропускания фильтра ограничивается частотой (или частотами), на которых затухание фильтра не превышает заданного значения amax , эта частота (частоты) называется частотой среза ωc (ωс1 и ωс2 - для ПФ и РФ); полоса (полосы) задерживания определяются граничной частотой (частотами) ωs (ωs1 и ωs2 - для ПФ и РФ).

Помимо требований к частотной зависимости ослабления фильтра, которые следует рассматривать как основные, к его электрическим и конструктивным параметрам могут предъявляться дополнительные требования, например, к допустимому отклонению фазочастотной характеристики фильтра в его полосе пропускания от линейной, что связано с условиями безыскажённой передачи сигналов. В таких случаях или формулируется и решается соответствующая аппроксимационная задача, или с помощью специальных цепей корректируется фазочастотная характеристика фильтра, рассчитанная только по требованиям к ослаблению.

Разработаны различные методы расчёта электрических фильтров. Ранее других сложились методы расчёта LC-фильтров, основанные на рассмотрении

5

характеристических параметров фильтра как реактивного четырёхполюсника. В настоящее время они потеряли широкое прикладное значение, и современные методы синтеза фильтров основываются на отыскании и реализации оптимальных решений соответствующих аппроксимационных задач. Именно поэтому, несмотря на разнообразие типов фильтров, число используемых разновидностей характеристик фильтров ограничено.

При синтезе фильтров используется нормирование сопротивлений по заданному нормирующему сопротивлению и частоты по заданной нормирующей частоте. В качестве нормирующего сопротивления используется обычно одно из сопротивлений нагрузок фильтра (R1 или R2), а в качестве нормирующей частоты - частота среза полосы пропускания ФНЧ (ФВЧ) или центральная частота полосы пропускания (задерживания) ω0 ПФ (РФ). Нормируется обычно и комплексная передаточная функция фильтра относительно максимального значения её модуля.

Синтез частотно-избирательных цепей начинается обычно с формулировки технических требований к частотным характеристикам. Перечень задаваемых параметров приведён выше. Если при этом никаких ограничений на ФЧХ не налагается, то такой подход называется синтезом фильтра по заданной амплитудно-частотной характеристике.

Идеальная частотная характеристика заведомо нереализуема. Второй этап синтеза состоит в аппроксимации идеальной характеристики с помощью такой функции, которая может принадлежать физически реализуемой цепи.

Заключительным этапом синтеза является реализация выбранной частотной характеристики и получение принципиальной схемы фильтра вместе с номиналами входящих в неё элементов.

Определение вида функции передачи реальной электрической цепи, с достаточной степенью точности приближающейся к желаемой, называется аппроксимацией.

Рассмотрим решение задачи аппроксимации на примере ФНЧ.

На практике идеальную АЧХ ФНЧ (рис. 1) можно реализовать только приближённо. Два основных варианта такой аппроксимации представлены на рис. 2. В первом случае (рис. 2, а) для аппроксимации АЧХ ФНЧ использован многочлен Баттерворта, во втором (рис. 2, б) - полином Чебышёва.

Изображённые на рис. 2 АЧХ представляют собой зависимость модуля комплексной передаточной функции цепи от частоты. Под ФЧХ фильтра в этом случае понимается частотная зависимость аргумента комплексной передаточной функции. В каждом случае модуль комплексной передаточной функции цепи достигает нуля только на бесконечно большой частоте. Ширина полосы пропускания, численно равная ωс для ФНЧ, определяется заданием некоторого допустимого отклонения АЧХ Аmax от её максимального значения. Этот максимум может иметь место на нулевой частоте (рис. 2, а) или на некоторой промежуточной частоте (частотах) (рис. 2, б). Такое отклонение (неравномерность) или пульсация часто определяется на уровне 1 / 2 , хотя могут

6

быть выбраны и другие величины. Размер пульсаций характеризуется некоторой величиной ∆А, называемой размахом пульсаций в полосе пропускания.

∆А всегда не превышает Аmax (рис. 2, б).

Под АЧХ также можно понимать зависимость рабочего затухания фильтра aр от частоты, тогда ФЧХ может быть получена как частотная зависимость рабочего коэффициента фазы bр - величины, противоположной аргументу комплексной передаточной функции. Варианты представления АЧХ как частотной зависимости рабочего затухания фильтра показаны на рис.3.

Фильтры с максимально плоской АЧХ (рис. 2, а и рис. 3, а) используют в качестве аппроксимирующей функции полиномы Баттерворта. Характер АЧХ в полосе пропускания и полосе задерживания - монотонный. Такие фильтры получили название фильтров Баттерворта. Количество членов многочлена Баттерворта (порядок многочлена n) определяет степень приближения АЧХ к идеальной, сложность схемы (количество индуктивностей и емкостей) фильтра. Чем выше n (n также называется порядком ФНЧ), тем меньше ширина переходной области, тем лучше фильтрующие свойства ФНЧ.

Любые две точки на АЧХ ФНЧ Баттерворта с координатами (ω1, a1) и (ω2, a2) такие, что ω2>ω1 и a2>a1, связаны с порядком фильтра n соотношением:

Требуемый порядок ФНЧ Баттерворта n определяют по заданным рабочим параметрам фильтра из выражения

Так как порядок n может принимать только целочисленные значения (количество элементов другим быть не может), то полученное по формуле (2) значение округляют до ближайшего целого в большую сторону.

Используемое в (2) отношение ωs /ωc , численно равное fs / fc , называется крутизной характеристики ФНЧ и обозначается As .

АЧХ фильтров Чебышёва (рис. 3, б) имеют колебательный характер в полосе пропускания, что является недостатком, и монотонный - за её пределами. Число колебаний в полосе пропускания зависит от порядка n. Фильтры Чебышёва обеспечивают более резкий, в сравнении с фильтрами Баттерворта, переход от полосы пропускания к полосе задерживания при одном и том же значении n (что, несомненно, является их достоинством). Размах пульсаций в полосе пропускания определяется техническими требованиями к фильтру.

7

Рис.2. Вид АЧХ ФНЧ как |Nр(jω)|: а) - Баттерворта, б) - Чебышёва.

Рис.3. Вид АЧХ ФНЧ как ap=ξ(ω): а) - Баттерворта, б) - Чебышёва.

8

Любые две точки в монотонной части АЧХ ФНЧ Чебышёва с координа-

тами (ω1, a1) и (ω2, a2) такие, что ω2>ω1 и a2>a1, связаны с порядком фильтра n соотношением:

ω1

Требуемый порядок ФНЧ Чебышёва определяют по заданным рабочим параметрам с использованием следующего выражения:

Если по заданию максимальное затухание в полосе пропускания равно размаху пульсаций, то при определении порядка в формуле (4) вместо amax используют ∆a.

ФНЧ Баттерворта и Чебышёва могут быть технически реализованы двумя вариантами принципиальной схемы (рис. 4).

При реализации ФНЧ конкретного порядка выбирают схему, содержащую меньшее количество катушек индуктивностей.

Форма АЧХ реального ФНЧ при выбранных порядке n, виде аппроксимирующей функции (Баттерворта или Чебышёва) и размахе пульсаций (для фильтров Чебышёва) не зависит от реальных значений частот, определяющих границы полос пропускания и задерживания. Параметры элементов схем (L и C) для определённых значений n ФНЧ Баттерворта (или Чебышёва) и определённых значений ∆a (для ФНЧ Чебышёва), расположенных в разных местах на оси частот, связаны однозначно соотношением между соответствующими частотами, например, частотами среза, или граничными частотами полосы задерживания. Следовательно, располагая значениями индуктивностей и емкостей ФНЧ n-го порядка и определённого ∆a (для ФНЧ Чебышёва) для одного значения ωс , можно получить значения индуктивностей и емкостей ФНЧ, АЧХ которого имеет такую же форму, но расположена в другой частотной области, то есть при другом значении ωс.

Параметры элементов схемы ФНЧ для ωс = 1 рад/с и R1 = R2= 1 Ом,

amax = 3 дБ (для ФНЧ Баттерворта) и нескольких значений ∆a (для ФНЧ Чебышёва) протабулированы. Такие ФНЧ называются нормированными. От них

можно перейти не только к параметрам ФНЧ, АЧХ которых “сдвинуты” по оси частот, но и получить параметры ФВЧ, ПФ или РФ. В этой связи нормированные ФНЧ также называются нормированными по частоте и импедансу ФНЧпрототипами. Значения их элементов приведены в таблицах приложения 1. Вид АЧХ нормированных ФНЧ показан на рис. 5.

9

Вариант А

n-нечётное

Вариант Б

n-нечётное

Рис.4 Схемы LC-ФНЧ

10