Задача 5

Выборочная зависимость между величиной основных производственных фондов Х и суточной выработкой продукции У по данным пяти независимых наблюдений представлена в таблице.

Требуется составить выборочное уравнение линейной парной регрессии У на Х, вычислить коэффициент корреляции r между Х и У, на уровне значимости проверить значимость коэффициента корреляции и уравнения регрессии.

Таблица 8

i	1	2	3	4	5
хi	1,20	1,50	2,50	3,00	4,50
уi	1,35	1,40	1,50	1,65	1,70

Решение:

Составим расчетную таблицу задачи:

Таблица 9

i	xi	xi2	yi	уi2	xiyi
1	1,20	1,44	1,35	1,823	1,62
2	1,50	2,25	1,40	1,960	2,10
3	2,50	6,25	1,50	2,250	3,75
4	3,00	9,00	1,65	2,723	4,95
5	4,50	20,25	1,70	2,890	7,65
	xi = 12,70	xi2 = 39,19	yi = 7,60	уi2 = 11,645	xiyi = 20,07
Среднее значение	= 2,54	= 7,838	= 1,52	= 2,329	4,014

Выборочное уравнение линейной регрессии У на Х имеет вид:

.

Параметры уравнения  и в находятся из системы нормальных уравнений:

где n – объем выборки.

Согласно данным расчетной таблицы имеем:

Решение этой системы вычислим по формулам:

, ,

где

, ,,.

Значения А, В, С, Д указаны в расчетной таблице 9.

, ,,.

Поэтому находим:

;

.

Следовательно, искомое уравнение регрессии У на Х имеет вид:

.

Коэффициент корреляции r между Х и У определим по формуле:

Связь между Х и У тесная, прямая.

Проверим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости с помощьюt критерия Стьюдента.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

.

По таблице значений t критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободынаходим критическое значение:

.

Так как , то корреляцииr является значимым.

Значимость уравнения регрессии в целом проверим с помощью F критерия Фишера:

.

Находим наблюдаемое значение:

По таблице критических точек распределения F Фишера находим значение , соответствующее заданному уровню значимостии значениям степеней свободыи:.

Так как , то уравнение регрессии является статистически значимым.

Задача 6

Имеются данные (условные) о сменной добыче угля У (т) и уровне механизации Х (%), характеризующие процесс добычи угля в семи шахтах. Установлено, что между переменными Х и У существует степенная зависимость: . Требуется найти параметры этой зависимости.

Таблица 10

i	1	2	3	4	5	6	7
хi	3,2	3,4	4,1	4,5	4,9	5,2	5,8
уi	8,5	8,8	10,2	12,5	13,4	15,2	16,8

Решение:

Нелинейное уравнение регрессии приведем к линейному, прологарифмировав обе его части:

;

;

.

Для определения значений неизвестных параметров в₀ и в₁ используем метод наименьших квадратов, согласно которому должна быть составлена система нормальных уравнений и найдено ее решение:

Для расчета необходимых сумм составим расчетную таблицу 11.

Таблица 11

i	xi	yi	ln xi	ln yi	ln2 xi	ln xi · ln yi
1	3,2	8,5	1,163	2,140	1,353	2,489
2	3,4	8,8	1,224	2,175	1,498	2,661
3	4,1	10,2	1,411	2,322	1,991	3,277
4	4,5	12,5	1,504	2,526	2,262	3,799
5	4,9	13,4	1,589	2,595	2,526	4,124
6	5,2	15,2	1,649	2,721	2,718	4,486
7	5,8	16,8	1,758	2,821	3,090	4,960
	31,1	85,4	10,298	17,301	15,437	25,797

Теперь, используя данные расчетной таблицы 11, составим систему нормальных уравнений:

и найдем ее решение по формулам Крамера.

Имеем:

,

,

.

Следовательно:

,

.

Найдем .

Таким образом, окончательно получаем:

.