Содержание

Задача 1 3

Задача 2 8

Задача 3 10

Задача 4 11

Задача 5 15

Задача 6 18

Задача 7 20

Список использованной литературы 22

Задача 1

Выборка случайной величины Х задана интервальным вариационным рядом (I_i – i-ый интервал, n_i – частота).

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7
Ii	2 – 6	6 – 10	10 – 14	14 – 18	18 – 22	22 – 26	26 – 30
ni	9	16	20	26	18	6	5

Найти:

1. относительные частоты (частости) W_i;

2. накопленные частоты n_i^нак;

3. накопленные частости W_i^нак.

Вычислить:

1. выборочную среднюю ;

2. смещенную оценку дисперсии Д;

3. несмещенную оценку дисперсии S²;

4. среднее квадратическое отклонение ;

5. коэффициент вариации v.

Построить:

1. гистограмму частот;

2. эмпирическую функцию распределения;

3. кумулятивную кривую.

Указать:

1. моду М_о;

2. медиану М_е.

Решение:

Вычисляем объем выборки:

.

Относительные частоты вычисляются по формуле:

.

Получим:

,

,

,

,

,

,

.

Дальнейшие расчеты оформим в виде сгруппированного ряда:

Таблица 2

i	Ii	ni	Wi	niнак	Wiнак
1	2 – 6	9	0,09	9	0,09
2	6 – 10	16	0,16	25	0,25
3	10 – 14	20	0,20	45	0,45
4	14 – 18	26	0,26	71	0,71
5	18 – 22	18	0,18	89	0,89
6	22 – 26	6	0,06	95	0,95
7	26 – 30	5	0,05	100	1
	-	100	1	-	-

Смещенная оценка Д вычисляется по формуле:

,

где x_i – середина интервала I_i ().

Вычислим

Выборочная средняя вычисляется по формуле:

,

где x_i – середина интервала I_i ().

Таким образом, находим:

.

Теперь получаем:

.

Несмещенная оценка дисперсии S² вычисляется по формуле:

.

Для оценки среднего квадратического отклонения  используется несмещенная дисперсия S². Согласно определению для  имеем:

.

Вычисляем значения накопленных частот и полученные значения записываем в таблицу 2.

Согласно определению, накопленная частота равна числу вариантов со значениемХ меньше заданного значения х. Так как значения Х < 6 наблюдались 9 раз (в интервале I₁), то . Это значение записываем в верхней клетке столбцатаблицы 2.

Значения Х < 10 наблюдались 9+16 = 25 раза (соответственно в интервалах I₁ и I₂); поэтому . Аналогичным образом находим остальные значения накопленных частот и записываем в соответствующие клетки таблицы 2.

После вычисления всех значений определяем значения накопленных частостей по формуле:

.

и записываем в таблицу 2.

Коэффициент вариации v определяется по формуле:

.

Для построения гистограммы на оси абсцисс откладываем отрезки частичных интервалов I_i варьирования и на этих отрезках как на основаниях строим прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующих интервалов.

Рис.1. Гистограмма частот

С помощью гистограммы находим моду – т.е. вариант, которому соответствует наибольшая частота: М_о  15,5.

Согласно определению эмпирическая функция распределения

для данного значения х представляет накопленную частость. Для интервального вариационного ряда (табл. 2) имеем лишь значения функции распределения на концах интервала, указанные в правом крайнем столбце таблицы 2. Для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. Полученная таким образом ломаная совпадает с кумулятивной кривой (кумулятой).

Рис.2. Кумулята

С помощью кумуляты приближенно найдем медиану как значение признака, для которого . Очевидно,М_е  15.