olimpiady_matematika

Предисловие

В настоящее время одной из главных задач совершенст вования системы образования в России является своевременное выявление, обучение и воспитание одаренных и талантливых школьников. Необходимо выявлять и развивать способности учащихся к решению сложных, нестандартных проблем. Качест венное математическое образование должно готовить компе тентных молодых людей, способных к принятию решений в сложных ситуациях, умеющих быстро ориентироваться в новых для них, изменяющихся условиях.

Одним из самых эффективных и широко распространенных способов развития творческой деятельности и познавательных способностей учащихся, формирования теоретического и иссле довательского мышления является олимпиадное движение.

Олимпиады и подготовка к ним направлены на выявление и развитие творческих способностей школьников, на поиск и от бор талантливой творческой молодежи, в том числе при приеме в вузы. Участие в олимпиадах является показателем активного ин теллектуального развития учащихся, проявления их умственных способностей.

В настоящее время законодательно закреплен статус олим пиад в качестве альтернативной формы вступительных испыта ний в вузы. В связи с этим актуальным является дальнейшее рас ширение олимпиадного движения и взаимодействие с учебным процессом. Важным направлением такой работы является вклю чение олимпиадных заданий в учебный процесс через систему дополнительного образования, а именно элективные курсы, фа культативные домашние задания, исследовательские и творче ские проекты. Поэтому так важна популяризация олимпиадных задач через средства массовой информации. Публикация задач по математике из числа предлагаемых на олимпиадах, проводи мых различными вузами, содержит не только информацию о том, где проводятся олимпиады и какую сложность имеют, но и служит составной частью довузовского обучения школьников.

3

МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА МГУ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Московская математическая олимпиада проходит еже годно с 1935 г. Многие годы она является самым главным и са мым массовым интеллектуальным соревнованием для москов ских школьников. Задачи для Московской математической олимпиады подбираются таким образом, что для их решения не требуется специальных знаний, выходящих за рамки стан дартного школьного курса; в то же время эти задачи не ставят своей целью только проверку успеваемости школьников, но да ют возможность школьникам приобщиться к реальной науке, решать занимательные задачи, которые могут вызвать заинтере сованность в дальнейшем поиске, в более глубоком изучении математики. Олимпиада традиционно проводится в МГУ на Во робьевых горах.

LXVIII Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2005 г.

1. Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

sin x + a = bx,

cos x = b

имеет ровно два решения. Доказать, что система имеет хотя бы одно решение.

2. Сумма модулей членов конечной арифметической про грессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n2d, где d — раз ность прогрессии, а n — число ее членов?

3. Доска размером 2005 × 2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в ка

5

ком то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на рас стоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки най дется занумерованная клетка. Доказать, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. Расстояние между клетка ми — это расстояние между их центрами.

4. С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают сле дующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного пер пендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последо вательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B, ... — всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли: 1) допустимый четырех угольник, который после n < 5 операций становится равным ис ходному; 2) такое число n0, что любой допустимый четырех угольник после n = n0 операций становится равным исходному?

5.К некоторому натуральному числу справа последователь но приписали два двузначных числа. Полученное число оказа лось равным кубу суммы трех исходных чисел. Найти все воз можные тройки исходных чисел.

6.На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нуле вым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Ко ля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и про изводить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля на

верняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n + 1)2 попыток?

LXIX Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2006 г.

1. Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии α1, α2, ..., α5, все члены которой

6

а также числа sin α3, sin α4 и sin α5 в некотором порядке тоже об разуют арифметические прогрессии?

a

2. Найти все несократимые дроби -b- , представимые в виде b, a (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел b

иa).

3.Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чтобы сделать вокруг его оси бесконечно много обо ротов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также раз резать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса доста точно мал.

4.Алиса и Базилио играют в следующую игру: из мешка, первоначально содержавшего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а да лее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотре нию) либо столько же монет, сколько взял другой игрок послед ним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обес печить себе выигрыш независимо от ходов другого?

5.На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рас

сматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое мес то середин оснований таких треугольников.

6. Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разло жены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо

k

не менее -n- массы всех конфет при одном лишь условии, что мас

са конфет в любой коробке не превосходит массы конфет в лю бой более дорогой коробке. 1) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3? 2) Тот же вопрос для произвольных натуральных n k.

LXX Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2007 г.

1. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеру ются по кругу в каком либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если

7

секторы занумерованы, например (как при игре в дартс), в сле дующем порядке:

1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кру

гу) секторов равна 12 – 9 = 3 (из большего числа вычитается меньшее). Может ли указанная величина при нумерации в дру гом порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное зна чение этой величины?

2.Число a подобрано так, что число корней первого из урав нений 4x – 4–x = 2 cos ax и 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

3.Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найти все возможные значения этого произведения.

4.Точка O лежит в основании A1, A2, ..., An пирамиды

SA1A2... An, причем SA1 = SA2 = ... = SAn и SA1O = SA2O = = SAnO. При каком наименьшем значении n отсюда следует,

что SO — высота пирамиды?

5.Квадрат состоит из n × n клеток: две противоположные уг ловые клетки — черные, а остальные — белые. Какое наимень шее количество белых клеток достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих

вперекрашивании всех клеток какого либо столбца или ка кой либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черным все клетки этого квадрата?

6.Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB

треугольника ABC соответственно, а BH — его высота. Дока зать, что если описанные около треугольников AHC1 и CHA1 окружности проходят через точку M, отличную от H, то

ABM = CBB1.

7.Миша мысленно расположил внутри данного круга еди ничного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую либо прямую и узнает от него, пересека ет ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника: 1) через 3 шага с точностью до 0,3; 2) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

8

LXXI Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2008 г.

1.Числа p и q таковы, что параболы y = –2x2 и y = x2 + px + q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найти уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

2.Найти наименьшее натуральное n, для которого число nn не является делителем числа 2008! = 1•2•...•2008.

3.На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учени ков, сделавших менее чем по 4 ошибки?

4.Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекаю щая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Доказать, что точки A, B, C и D лежат на од ной окружности.

5.Станок выпускает детали двух типов. На ленте его кон вейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер дви жется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а под готовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что располо жение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найти:

1)наименьшее такое число; 2) все такие числа.

6.Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: ес ли в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в од ной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C,

азайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

7.Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на лю бую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плос кость) исходного многогранника:

9

LXXII Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2009 г.

1. Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нем ме няется в зависимости от времени t по закону h(t) = at2 + bt + c, а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0) = h′(t0) = = 0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, ес ли за первый час уровень воды в нем уменьшился вдвое?

2.Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?

3.На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции y = sin x, x (0, α). Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если:

4.Через каждую вершину четырехугольника проведена пря мая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит четырехугольник на две равновеликие части. Доказать, что и чет вертая прямая обладает тем же свойством. Какие значения могут

принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 72°?

5.Для каждого простого p найти наибольшую натуральную степень числа p!, на которую делится число (p2)!.

6.Доказать, что при любом разбиении ста «двузначных» чи сел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы любые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.

10

LXXIII Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2010 г.

1.Какое наибольшее значение может принимать выражение 1 : (a + 2010 : (b + 1 : c)), где a, b, c — попарно различные ненуле вые цифры?

2.В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем пес ка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилинд рического ведерка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты.

Витоге весь песок ушел на куличи, поставленные на дне песоч ницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочни це больше: Машиных или Пашиных?

3.Доказать, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы

y = xn + px + q, z = yn + py + q, x = zn + pz + q,

то выполнено неравенство x2y + y2z + z2x x2z + y2x + z2y, где:

1)n = 2; 2) n = 2010.

4.Функция f каждому вектору v (с общим началом в точ

ке O) пространства ставит в соответствие число f (v), причем для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f (αu + βv) не превосходит хотя бы одно из чисел f (u) или f (v). Какое наиболь шее количество значений может принимать такая функция?

5.Внутри выпуклого четырехугольника ABCD взята такая точка P, что PBA = PCD = 90°. Точка M — середина сторо ны AD, причем BM = CM. Доказать, что PAB = PDC.

6.Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а за тем по свистку все школьники выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких ее участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участ ник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права до свистка выдавать никакую информацию). Ка кое наибольшее число очков команда, заранее наметив план дей ствий каждого ее члена, может гарантированно получить:

1) при n = k = 2; 2) при произвольных фиксированных n и k?

11

LXXIII Московская математическая олимпиада, 11 класс, 2011 г.

Первый день

1. Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая про грессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с деся тым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвертый член геометриче ской прогрессии?

(О. Н. Косухин)

2. Сравнить между собой наименьшие положительные кор ни многочленов x2011 + 2011x – 1 и x2011 – 2011x + 1.

(О. Н. Косухин)

3. В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC взята точка D, а на боковой стороне AB — точки E и M так, что AM = ME и отрезок DM параллелен стороне AC. Доказать, что

AD + DE > AB + BE.

(П. А. Бородин)

4. В каждой клетке квадратной таблицы написано по дейст вительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b.

1)Доказать, что если k = 2, то a = b.

2)В случае k = 3 привести пример такой таблицы, для кото рой a = b.

(R. B. Bapat)

5. Рассматриваются ортогональные проекции данного пра вильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плос кости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?

(О. Н. Косухин)

6. Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет раз резать любой кусок сыра в одном и том же отношении a : (1 – a) по весу, где 0 < a < 1. Верно ли, что на любом промежутке длины

12