olimpiady_matematika

4.Решить уравнение f (x + 4 ) = f (2х), где f (t) = 2t – t 2 при всех действительных t.

5.Через точки L, М, N, лежащие соответственно на ребрах АВ, AC, AD правильного тетраэдра ABCD, проведена плоскость. Известно, что ребра тетраэдра равны 1, объем пирамиды ALMN

резка MN?

6. Какие из значений: 8, 43, 2010 может принимать N, если

1 1 1

известно, что уравнение -x- – -y- = -N--- имеет единственное реше ние в натуральных числах х и у?

Очный тур, г. Брянск

1.Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе

иперемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в ста кан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалось равной доле кофе в исходной. Найти эту долю.

2.Решить неравенство

3.Один из корней квадратного уравнения рх2 + qx + 1 =

=0 (р < 0) равен 2010. Решить неравенство x + qx + р > 0.

4.Точка В лежит на отрезке АС так, что АВ = 3, ВС = 4. На отрезках АВ и ВС по одну сторону от прямой АС построены квадраты. Окружности, описанные вокруг этих квадратов, пере секаются в точке D, отличной от В. Найти площадь треугольни ка ACD.

5.При каких значениях х число 31 + x + 33 – x является целым?

6. Для каких из перечисленных значений параметра а (а = –1, 2010, log2 3) найдется такое значение b, что уравнение cos x + cos ax = b имеет единственное решение?

33

Очный тур, г. Омск

1.Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Не знакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а про читанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает ее ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где окончила чте ние. В какой день недели бабушка прочтет книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь ее внук переносит закладку на 20 страниц назад?

2.Найти все х из отрезка [0; 2π], для которых

logsin x cos x > logctg x c39os x.

3.Решить систему уравнений

х2y + x + ху2 + y + 5 = 0,

x + y + хy + 5 = 0.

4.Вокруг четырехугольника ABCD описана окружность с центром в точке О. Известно, что диагонали АС и BD четырех угольника перпендикулярны, АВ = 4, DC = 5. Какие значения может принимать площадь треугольника АОВ?

5.Решить в целых числах уравнение

9x2 + 160x – 800 = 3x – у.

6. При каких значениях параметра а неравенство

имеет единственное решение? Найти это решение.

Очный тур, г. Нижний Новгород

1.После вырубки нескольких деревьев в парке оказалось, что число оставшихся деревьев равно числу процентов, на кото рое число деревьев в парке уменьшилось за время вырубки. Ка кое наименьшее число деревьев могло остаться в парке?

2.Решить уравнение

1 – x – 2 + 4x – x2 = 3 + |x – 2|.

34

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ МФТИ

Олимпиада МФТИ, 2009 г.

3.Решить неравенство log|x| (5 – x + 4) 2 logx2 (8 – 2x).

4.В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит тра

пеция ABCD, в которой AB = BC = CD = 2, AD = 4. Точки K, L, M лежат на отрезках A1B, B1C, C1D соответственно так, что

A1B, B1C, C1D в точках K, L, M соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треугольника KLM, расстояние от центра сферы до плоскости KLM и объем призмы.

5. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, а точка E лежит на отрезке AD. Известно, что углы ABE, EBD и CBD равны, а длина отрезка DE вдвое меньше длины отрез ка CD и втрое меньше длины отрезка AE. Найти углы CBD

и BAC.

36

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ». МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

Предлагаются варианты олимпиадных заданий I и II эта пов олимпиады, которую Московский государственный техни ческий университет им. Н. Э. Баумана проводил в 2009—2010 го дах. В соответствии с порядком проведения олимпиад школьни ков до 35—45% участников заключительного этапа олимпиады может быть признано победителями и призерами с предоставле нием им возможности зачисления в МГТУ им. Н. Э. Баумана по результатам олимпиады.

Задачи первого тура, 2010 г.

1.Мастерская планировала затратить за два месяца 20 тыс. рублей на изготовление партии деталей. Однако затраты на изго товление одной детали в первом месяце были больше планируе мых на 20%, а во втором месяце — на 25%. В среднем затраты на всю партию деталей оказались на 22% больше планировавшихся. Сколько рублей было затрачено на изготовление деталей в каж дом месяце?

2.Решить уравнение 2 cos x + 3( 1 – sin x) = 0.

3.Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии 113, 109, 105, ...?

4.Решить уравнение 3•2x = 11 + 22 – x.

38

7.В прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведен ная из вершины прямого угла C, равна 4, а медиана, проведенная

кбольшему катету, равна 27 . Найти площадь треугольника.

8.Найти площадь треугольника AMB, если A и B — точки

пересечения с осью x касательных, проведенных к графику

9 – x2

функции y = ---------------- из точки M(4; 3).

6

9. Указать все значения a, при которых уравнение

64a(x – 6) + 128 = (x + |x|)2

имеет хотя бы одно решение, и решите его при каждом a.

10. Основанием пирамиды TABC служит прямоугольный треугольник с катетами AB = 4 и BC = 12, а боковые ребра TA = 3, TB = 5, TC = 13. Какую наименьшую площадь может иметь сече ние пирамиды плоскостью, проходящей через вершину T, сере дину стороны основания AC и точку M, лежащую на ребре AB? На какие части делит точка M ребро AB в этом случае?

Задачи второго тура, 2010 г.

Вариант 1

1.Один рабочий за два часа делает на 5 деталей больше, чем другой, соответственно на изготовление 100 деталей он затрачи вает на 2 ч меньше. Какое время тратит каждый рабочий на изго товление 100 деталей?

2.Решить уравнение 2 •cos2 x = sin x.

3. Сколько членов содержится в возрастающей арифметиче ской прогрессии с положительными членами, у которой сумма членов с нечетными номерами составляет 52% суммы членов всей прогрессии?

4. Решить уравнение 1 + log 3 – x •log 1 = 1.

2 2-- x 2--

(4x – 12•2x + 32)(x – 1)

5. Решить неравенство -------------------------------------------------------------------- > 0. x – 1

39

6. Найти множество значений функции

f (x) = log0,5 (3 – log6 x) + log0,5 (1 + log6 x).

7.Около окружности радиуса 5 описана равнобокая трапе ция ABCD с углом A, равным arccos 0,8. Точки K и N — точки ка сания окружности с боковыми сторонами AB и CD соответ ственно. Найти площадь четырехугольника AKND.

8.Написать уравнения двух перпендикулярных друг другу

9.Решить уравнение 22(x + x ) + a(2x + 1) = 1. Указать все его корни при каждом a.

10.Найти площадь сечения правильной треугольной приз мы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через вершину A и

центр боковой грани BB1C1C и параллельной диагонали BA1 бо ковой грани BB1A1A, если расстояние между BA1 и секущей

плоскостью равно 2, а сторона основания призмы равна 214 .

Вариант 2

1.На 100 км пробега автомобиль новой модели расходует на 1,25 л бензина меньше, чем старый автомобиль; при этом на од ном литре бензина старый автомобиль проходит на 4 км меньше, чем новый. Каков расход бензина на 100 км пробега автомобилей новой и старой моделей?

2.Решить уравнение cos 3x + 2 cos x = 0.

3.Указать все значения n, при которых сумма n последова тельных членов арифметической прогрессии 28, 25, 22, ..., начи ная с первого, не меньше 68.

4.Решить уравнение (log2 x)•log27 (4x) = log3 2.

6. Найти множество значений функции

f (x) = 125• 0,2(4 – log6 x) log6 x .

40

7.Длины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD отно сятся как 3 : 4, а прямые, содержащие боковые стороны, пересе каются в точке M под прямым углом. Радиус вписанной в тре угольник AMD окружности равен 3, а площадь трапеции ABCD равна 30. Найти длины всех сторон трапеции, если BC < AD.

8.Написать уравнения двух касательных к графику функции

y = x2 , если угол между ними равен 30° и абсцисса точки касания

---6-

одной из них равна –33 .

9. Указать все значения a, при которых уравнение

22(x + x ) = a(x – 8) + 12 имеет единственный корень. Найти этот корень при каждом a.

10. Найти площадь сечения правильной треугольной приз мы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через вершину A и се редину стороны основания A1C1 и параллельной диагонали BA1 боковой грани BB1A1A, если расстояние между BA1 и секущей

плоскостью равно 1, а сторона основания призмы равна 27 .

Задачи второго тура, 2009 г.

Вариант 1

1.Завод выпустил две партии изделий, при этом затраты на изготовление первой партии оказались на 20%, а второй пар тии — на 25% больше, чем планировалось. Таким образом, об щие затраты превысили планируемые на 24% и составили 186 тыс. рублей. Какие затраты планировались на изготовление каждой партии?

2.Решить уравнение 3 |sin x| + sin 2x = 0.

3.Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии 145, 139, 133, ...?

4.Решить уравнение (log3 x)•log64 (3x) = log2 3.

2 – x x – 6 x + 8

41

c

6. Функция f (x) = ------------- определена на отрезке [2; 4]. Найти c – x

все значения c, при которых наибольшее значение функции на этом отрезке больше 0,2.

7.Площадь треугольника ABC равна 163 , сторона AB = 8, угол B = 60°. На сторонах AB, BC и AC выбраны точки K, L и M так, что AK : KB = 1 : 3, BL : LC = 1 : 1, AM : MC = 3 : 5. Найти площадь круга, описанного около треугольника KLM.

8.Какую наибольшую площадь может иметь фигура на плоскости xy, расположенная между прямыми x = 2 и x = 6 и ог раниченная снизу осью x, а сверху — касательной к графику

функции y = x2 – 6x + 25 с абсциссой x0 точки касания, лежащей

впромежутке 2 x0 6?

9.Указать все значения параметра p, при которых система уравнений

y + 3 – p = (x – p)2

имеет ровно два различных решения. Найти эти решения.

10. В сферу радиуса R вписана правильная треугольная пи рамида, у которой высота относится к боковому ребру, как

2 : 3 . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пи рамиды плоскостью, проходящей через высоту основания? Най ти отношение объемов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.

Вариант 2

1.На расстоянии 100 км первый автомобиль расходует бен зина на 2 л больше, чем второй. Расходуя 1 л бензина, он прохо дит по такой же дороге на 2,5 км меньше, чем второй. Каков рас ход бензина каждого автомобиля на расстоянии 100 км?

2.Решить уравнение 2 cos2x = sinx .

3.Решить уравнение

(log2 x + logx 2 + 2)(log2 x – log2x x) = 6.

42