Модели социальных процессов

Уровень затрат на вооружение должен быть постоянным и не зависеть от времени:

т.е. желательно, чтобы система находилась в состоянии равнове­ сия.

Условия равновесия для системы (12.18) записываются в сле­ дующем виде:

и рассмотрим геометрическую интерпретацию линейного урав­ нения (12.22) на фазовой плоскости (х, у) (рис. 12.7).

Для всех точек прямой G имеем dx/dt = 0. Можно сказать, что первое уравнение системы (12.18) задает горизонтальную компо­ ненту скорости движения точки в фазовой плоскости, а второе уравнение — вертикальную. Ясно, что если в некоторой точке

Рис. 12.7. Геометрическая интерпретация уравнения (12.22): а — при г > 0; б — при г < 0

240

1.Бесконечная гонка вооружений: д: —»°° и у —»°°.

2.Взаимное разоружение: х —»0, у -» 0.

3.Равновесие вооружений: х —»х*, у —»у*, где г/*, я* > 0. Точка равновесия (д:*, у*) находится на пересечении прямых G [уравне­ ние (12.20)] и Z [уравнение (12.21)] (см. рис. 12.8).

Легко показать, что если г > 0 и в > 0 , т о точка пересечения G

иZ лежит в первом (см. рис. 12.8) или третьем (рис. 12.9) квад­ ранте.

Стрелки на рис. 12.8-12.10 показывают горизонтальную и вер­ тикальную составляющие движения точки, находящейся в той или иной области фазовой плоскости. В варианте, показаном на рис. 12.8, из любой начальной точки решение со временем прихо­ дит в точку равновесия, достигается "баланс сил", причем незави­ симо от начального уровня вооружений. Из рис. 12.9 видно, что если начальная точка попала в область II, то х—>°° и у —» <».

241

Рассмотрим ситуацию, когда по меньшей мере один из коэффици­ ентов г, s < 0 (рис. 12.10).

Если начальный уровень затрат, т.е. точка (xQ/ у0), находится

в области I, то гонка вооружений будет бесконечной (х —>°°, у —> °°). Если начальная точка находится в области III, то решение систе­ мы (12.18) также "уходит" от равновесия (х*, у*), но зато стремит­ ся к точке (0, 0) (взаимное разоружение).

Таким образом, наличие у одного или обоих государств "доброй воли" (г, s < 0) не гарантирует удовлетворительного исхода гонки вооружений. Все зависит от начального состояния системы.

Очевидно, что поведение модели Ричардсона зависит от соот­ ношения коэффициентов а, Ь, т, п и знаков г, s. Читателю пред­ лагается самостоятельно убедиться, что имеют место четыре воз­ можных случая:

1.Если тп - ab > 0, г > 0, s > 0, то существует точка равновесия.

2.Если тп - ab < 0, г > 0, s > 0, то логика модели ведет к неограниченной эскалации гонки вооружений.

3. Если тп - ab > 0, г < 0, s < 0, то гарантируется полное взаимное разоружение.

4.Если тп - ab < 0, г < 0, s < 0, то пессимистичность или оптимистичность прогноза существенно зависит от начального состояния.

Для проверки своей достаточно упрощенной модели Ричард­ сон собрал данные о гонке вооружений перед первой мировой вой­ ной (1909-1913 гг.). Изучая противоборство двух блоков (х — Франция и Россия, у — Германия и Австро-Венгрия, расходы Анг­ лии, Италии и Турции не учитывались), Ричардсон составил таб­ лицу военных бюджетов для четырех стран (все затраты даны в миллионах фунтов стерлингов) (табл. 12.3).

242

Чтобы сравнить модель с реальными данными, Ричардсон предположил, что а = Ь и т = п. Тогда уравнения (12.18) можно записать следующим образом:

dx/dt = ау-тх+г, dy/dt = ax-my+s.

где 2 — суммарные затраты на вооружение двух блоков; 20 — начальное состояние.

Рассмотрим поведение решения (12.24) в зависимости от соот­ ношения коэффициентов. Если а < т, то k < 0, следовательно, первый член правой части соотношения (12.24) стремится к нулю при t —> °° и решение асимптотически стремится к значению (-f/k).

Если а > т, то ft > 0 и z(t) экспоненциально растет. На рис. 12.11 ось абсцисс соответствует суммарному военному бюджету Фран­ ции, России, Германии и Австро-Венгрии в годы, предшествующие первой мировой войне (z). Ось ординат соответствует темпам роста расходов на вооружение (Az/At).

Отмеченные на рис. 12.11 четы­ ре точки соответствуют данным из табл. 12.3. Легко видеть, что все они лежат на одной прямой, что вполне соответствует соотношению (12.23), и, следовательно, модель Ричардсо­ на достаточно достоверно описыва­ ет рассматриваемую ситуацию.

243

ется гораздо более убедительной, если вместо вооружений про­ вести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагиру­ ют на абсолютный уровень враждебности, проявляемый по отно­ шению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они сами ис­ пытывают. Примечательной чертой такой модели является точ­ но выраженная зависимость уровня вооружений одной стороны от уровня вооружений другой. Это позволяет каждой стороне корректировать уровень собственных вооружений по реакции ее потенциальных противников на уровень ее вооружений в про­ шлом" [13, с. 92].

Политологи установили, что для анализа большинства серь­ езных международных конфликтов за последние 200 лет можно использовать модель Ричардсона. Оказалось, что из 30 конфлик­ тов, сопровождавшихся гонкой вооружений, 25 закончились вой­ ной. При отсутствии гонки вооружений только три из 70 кон­ фликтов привели к войне.

Отметим, что гонка вооружений может закончится вполне мир­ но в случае экономического краха одной из враждующих сторон. Аналогичные модели применялись для анализа динамики пред­ выборных расходов и прогнозирования поведения участников аук­ ционов.

12.5. Модели сотрудничества и борьбы за существование

Модели Лотки-Вольтерра. В данном параграфе будут рассмот­ рены простейшие нелинейные системы дифференциальных урав­ нений, позволяющие тем не менее создавать достаточно реали­ стические модели социальных процессов. Но прежде чем перейти к моделированию социальных взаимодействий, рассмотрим так на­ зываемые модели Лотки—Вольтерра, активно применяемые био­ логами для изучения взаимодействия популяций [12].

Проанализируем систему двух дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие двух популяций:

где х1 (t) и х2 (t) — численность популяций в момент t. Линейные члены сх хх и с2 хг в правых частях уравнений соот­

ветствуют свободному размножению видов. Если коэффициент

244

с> 0, то численность соответствующего вида растет (положитель­ ная обратная связь), если с, < 0, то численность уменьшается (отрицательная обратная связь).

Члены ап xt 2 отражают наличие внутривидовой конкуренции при аи < 0. Если ап > 0, то мы имеем дело с сильной положитель­ ной обратной связью, отражающей эффект "группирования", благоприятное влияние на численность популяции процесса обра­ зования сообществ.

Наиболее интересны в этой модели произведения факторов х х2, отражающие процесс взаимодействия двух популяций. Если коэффициенты а_ отрицательны, то виды конкурируют друг с дру­ гом. При а > 0 процесс взаимодействия биологи называют сим­ биозом (в социальной сфере более уместно говорить о сотрудничес­ тве, кооперации). Если а12 > 0 и а21 < 0, то первый вид является хищником, а второй — жертвой (если численность первого вида больше, то это взаимодействие паразита с хозяином).

В литературе рассматривались как более простые системы (часть коэффициентов равна нулю), так и различные обобщения, учитывающие влияние дополнительных факторов. Необходимость обобщений обусловлена таким серьезным недостатком модели Лот- ки-Вольтерра, как неустойчивость решений системы уравнений. Получается, что любое случайное изменение численности одного из видов приводит к изменению траекторий развития, тогда как в природных условиях взаимодействие видов протекает достаточно устойчиво [12].

В моделях Лотки-Вольтерра решения могут носить цик­ лический характер, что соответствует процессам, наблюдаемым в природе. Рассмотрим систему двух видов: волки и зайцы. Рост численности волков ведет к сокращению поголовья зайцев. Вы­ званный этим дефицит пищи приводит к сокращению численно­ сти волков, что в свою очередь способствует развитию популя­ ции зайцев.

Модели взаимодействий в социальной сфере. Г.Р.Иваницкий, анализируя искусствоведческую литературу, считает, что в хаосе различных течений и направлений можно выделить закономер­ ность — пульсирующий характер развития [7]. Так, для творчес­ кого процесса характерен этап зарождения нового направления, который может длиться десятки лет. Иваницкий выделяет два фак­ тора, регулирующие длительность этапа зарождения нового на­ правления в науке или искусстве: психологический и социаль­ ный . Любой ученый или деятель искусства испытывает воздействие своих коллег. Он либо сопротивляется каким-либо

245

идеям, либо ощущает сопротивление своим идеям. Возможно пре­ бывание одновременно в двух указанных состояниях.

Творческая среда достаточно консервативна. Консерватизм в данном случае является защитным механизмом, призванным сдер­ живать необоснованные притязания реформаторов. Сила сопротив­ ления пропорциональна величине притязаний реформатора.

В случае успеха в развитии любого направления наступает ста­ дия экспоненциального роста количества продукции. На этой ста­ дии в данное направление науки или искусства вливается большое число специалистов. По мере насыщения наблюдается уменьше­ ние интереса, замедление роста продуктивности, начинается от­ ток специалистов. Затем какое-либо революционизирующее открытие вновь пробуждает интерес к хорошо забытому направ­ лению, и оно опять начинает развиваться по экспоненте.

Иваницкий считает, что область науки или искусства, состоя­ щая из большого числа различных направлений, также характе­ ризуется пульсирующим характером развития. В простейшем слу­ чае уравнения развития науки или искусства имеют следующий вид:

UN./dt^h.N.N.-k.N,,

\dN2 /dt =fc3iViiV2- k4N2,

где Ni 2—число специалистов; dNl /dt, dN2/dt — скорости изме­ нения числа специалистов соответственно в областях 1 и 2; kt — коэффициенты, зависящие от начальных условий. Первое урав­ нение системы (12.25) означает, что скорость изменения количес­ тва продукции пропорциональна произведению Nt N2 и обратно пропорциональна численности работников в данной области.

Численные эксперименты показали, что кривые, являющие­ ся решением системы (12.25), циклически колеблются около экс­ поненциального тренда. Так как поведение решения системы (12.25) соответствует эмпирическим данным, то, как считает Ива­ ницкий, данная модель может претендовать в первом приближе­ нии на качественное описание реального творческого процесса.

В данной главе в основном рассматривались примеры дина­ мических моделей социальных процессов на макроуровне, однако в литературе имеется много примеров использования дифферен­ циальных уравнений для моделирования индивидуального пове­ дения и групповой деятельности [4,15]. Язык дифференциаль­ ных уравнений позволяет точно сформулировать утверждения,

246

которые можно описать и на обыденном языке, но в значительно более расплывчатой форме.

Решая дифференциальные уравнения, можно забыть о содер­ жательном смысле переменных и использовать математический аппарат, разрабатываемый в течение нескольких столетий целым рядом выдающихся математиков. Используя их результаты, мож­ но исследовать особенности поведения решений, получить качес­ твенные оценки.

Следует отметить, что при интерпретации полученных реше­ ний необходимо снова вернуться к языку содержательных поня­ тий для оценки адекватности и осмысленности полученных мате­ матических выводов.

Ориентированная на компьютерное моделирование методоло­ гия системной динамики (разрабатываемая школой Дж. Форресте­ ра) представляет собой в настоящее время достаточно мощный ин­ струментарий для исследования динамических процессов. Базовым конструктом системной динамики является представ­ ление исследуемого процесса в виде диаграммы, состоящей из петель положительной и отрицательной обратной связи, прак­ тически совпадающей с рассматриваемыми в § 3.2 когнитивны­ ми картами. Можно сказать, что когнитивные карты служат протомоделями для теории системной динамики, математическим аппаратом которой являются системы дифференциальных урав­ нений. Для компьютерного моделирования подобных систем раз­ работан специальный язык программирования DYNAMO и це­ лый ряд специализированных пакетов.

Под руководством Форрестера в Массачусетском технологичес­ ком институте (Кембридж, США) создана национальная модель, ими­ тирующая развитие американской экономики. На вход модели не подаются экзогенные временные ряды, ее поведение полностью оп­ ределяется взаимодействием эндогенных факторов. В поведении мо­ дели можно наблюдать циклы с периодом 3-7 лет, циклы Кузнеца, волны Кондратьева, но особенно важно то, что удается выявить эф­ фект нелинейного взаимодействия волн различного периода. Так, неожиданный для бизнесменов и правительства резкий спад 1982 г. и последовавшее затем на удивление быстрое восстановление эконо­ мики Форрестер объясняет тем, что деловые циклы резко увеличивают свою амплитуду, когда экономика находится в точке максимума вол­ ны Кондратьева или в начале стадии спада. В период подъема волны

247

Кондратьева амплитуда деловых циклов значительно меньше, что подтверждается данными за 1945-1965 гг.

Практика моделирования показывает, что широкое исполь­ зование нелинейности часто обеспечивает устойчивость модели по отношению к вариациям значений параметров. Форрестер ут­ верждает, что такая ситуация типична для социальных систем. Если реальная система устойчива, то такой же должна быть мо­ дель. Аргументом в пользу нечувствительности реальных систем к конкретным значениям параметров, по мнению Форрестера, является сходство экономических проблем, с которыми сталки­ ваются страны с различными культурными, идеологическими особенностями. Форрестер считает, что в нелинейном мире дея­ тельность ученого, специализирующегося в области социальных наук, должна быть ближе к профессии инженера или медика, а не теоретика-физика или математика.

По-видимому, наиболее известной моделью системной динами­ ки является модель мирового развития (МИР-3), разработанная груп­ пой исследователей Массачусетского технологического института под руководством Д.Медоуза [5]. Модель МИР-3 относится к облас­ ти глобального моделирования, в которой изучаются долгосрочные тенденции развития таких систем, как мир в целом, государство, крупный регион. В глобальных моделях, как правило, рассматри­ вается взаимосвязь экономических, демографических, экологичес­ ких, социальных и технологических факторов развития.

Группа Медоуза анализировала возможные пути глобального развития с 1900 по 2100 г. Расчеты в рамках данной модели показа­ ли неизбежность кризиса, вызванного истощением невозобновляемых ограниченных ресурсов. Кризис ведет к резкому падению промышленного производства, сокращению инвестиций в сель­ ское хозяйство. Развитие кризиса ведет к уменьшению производ­ ства продуктов питания и ухудшению медицинского обслужива­ ния, что в конечном итоге вызывает рост смертности и сокращение численности населения планеты. Вычислительные эксперименты, связанные с изменением основных параметров, показали, что качес­ твенная картина решений является довольно устойчивой (меня­ лось только время наступления кризиса и удельный вес кризис­ ных факторов — нехватка продуктов питания, загрязнение среды).

Разработчики модели МИР-3 считают, что единственной воз­ можностью избежать катастрофы является стабилизация числен­ ности населения и объема промышленного капитала. Кроме того, необходимо снижение начиная с 1975 г. потребления ресурсов на душу населения в 8 раз и сокращение в 4 раза генерации

248

загрязнения окружающей среды. При выполнении данных реко­ мендаций система выходит на уровень "глобального равновесия".

Анализируя результаты 35-летнего периода применения ме­ тодов системной динамики для решения широкого спектра тео­ ретических и прикладных задач, Дж.Форрестер подчеркивает, что успех напрямую зависит от правильного понимания роли моделирования социальных процессов.

Системная динамика является парадигмой, т.е. новым спосо­ бом изучения социальной реальности. Целью системной динами­ ки является усиление, расширение возможностей когнитивных (ментальных) моделей [19, с. 216]. Обычные интуитивные подхо­ ды к решению социальных проблем становятся неприемлемыми в условиях растущей сложности социальных систем и внешней сре­ ды. Не справляются со сложностью социального мира и матема­ тические подходы. Модели, используемые в системной динамике, являются компьютерными моделями, с помощью которых осуще­ ствляется имитация поведения сложных систем. Эксперименти­ рование с моделью позволяет существенно углубить понимание по­ ведения сложных систем и нередко спрогнозировать появление непредвиденных последствий, в том числе катастрофических. Од­ нако реальную пользу моделирование приносит только в тех слу­ чаях, когда модель становится средством эффективной, компе­ тентной коммуникации.

Соглашаясь с точкой зрения Форрестера, отметим, что по­ добное понимание роли моделирования социальных процессов стало возможным только в последние годы, благодаря развитию когнитивного подхода.

Задачи и упражнения

1.Как с помощью Excel построить график функции, заданной фор­ мулой?

2.Исследуйте поведение функций из § 5.2, варьируя значения ко­ эффициентов.

3.Сформулируйте модель Ричардсона на языке разностных уравне­ ний. Проанализируйте поведение решений с помощью Excel.

4.Попробуйте учесть в модели Ричардсона эффект запаздывания.

5.Как смоделировать воздействие внешнего случайного фактора на поведение модели Ричардсона?

6.Какие уравнения точнее описывают ход социальных процессов: разностные или дифференциальные?

7.Как вы считаете, рассмотренные в данной главе модели описыва­ ют эволюцию социальных систем на макроуровне или на микроуровне?

249