VII. Функции многих переменных
Задание 1
|
Найти уравнение касательной и нормали к поверхности в |
||||||||||||||||||
указанной точке |
M |
(x0 , y0 , z0 ) |
(варианты 1 – 30): |
|
|||||||||||||||
|
x2 −1 + y2 − z2 = 0 |
|
|
|
|
|
M |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
||||
1. |
в точке |
|
|
1,1,1 |
|
|
|||||||||||||
2. |
4x − x y − 6 = 0 |
в точке |
M |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
1,−2,1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
x +10 − y2 + xz = 0 |
в точке |
|
M(1, 3, − 2) |
|
||||||||||||||
4. |
x3 −1 − xy + z2 = 0 |
в точке |
|
M(1, 4, − 2) |
|
||||||||||||||
5. |
xz +1 + yz − x2 = 0 |
в точке |
|
M(1, −1, 2) |
) |
||||||||||||||
|
xy − 25 + z2 − 4x + y2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
( |
|
|||||||
6. |
в точке |
|
2, − 6, 3 |
||||||||||||||||
7. |
z − 2xy + 7 + y2 = 0 |
в точке |
M(3,1, − 2) |
|
|||||||||||||||
|
z3 + y2 x +15 − 2 y = |
0 |
|
|
|
|
|
|
M |
( |
|
|
|
) |
|
||||
8. |
в точке |
|
− 3, 2,1 |
|
|||||||||||||||
|
x y −18 + 6z2 − y2 z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
( |
|
|
) |
|
||||
9. |
|
в точке |
|
|
1, 3, −1 |
|
|||||||||||||
|
21 − z2 + 6xy −8x = |
|
|
|
|
|
|
|
M |
( |
|
|
|
) |
|
||||
10. |
0 |
в точке |
|
1, − 2,1 |
) |
||||||||||||||
|
x2 −1 + xy − 2zy + 3z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
( |
1,1, − |
|||||||
11. |
в точке |
|
|
1 |
|||||||||||||||
|
x3 −13 + 3xy + 6z2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
( |
|
|
) |
|
||||
12. |
|
в точке |
|
|
1, 2,1 |
) |
|||||||||||||
|
x2 − y3 + z4 + xy − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
( |
1,1, − |
|||||||
13. |
в точке |
|
|
1 |
|||||||||||||||
14. |
z3 + zy − 2xz −5 = 0 |
в точке M |
( |
|
|
|
|
) |
|
||||||||||
|
|
−1, 2,1 |
|
||||||||||||||||
|
y3 + xz −1 + x = 0 в точке M |
( |
1, − |
|
|
) |
|
||||||||||||
15. |
|
1,1 |
|
|
|||||||||||||||
16. |
z = x 2 + 2 y2 |
в точке M(1, 2, 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z = x2 − y2 |
|
|
M |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
в точке |
|
1, 2, − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
z = xy в точке |
M |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
||
|
1,1,1 |
|
|
( |
|
) |
||||||
|
z = −x 2 y − y 2 |
|
|
|
|
M |
|
|||||
19. |
в точке |
|
1, 2, |
− 6 |
||||||||
20. |
z = xy2 − x2 |
в точке |
M |
( |
|
|
|
) |
||||
( |
1, − 2, 3 |
|||||||||||
|
z = yx2 + x3 |
|
|
|
|
M |
|
|
) |
|||
21. |
в точке |
|
2,1, 6 |
|
||||||||
22. |
z = xy + x2 |
в точке M(3,1,12) |
) |
|||||||||
|
z = y2 − xy2 |
|
|
|
|
M |
( |
|
2,1, − |
|||
23. |
в точке |
|
|
1 |
||||||||
|
z = x + x3 y |
в точке M |
( |
|
|
|
) |
|||||
24. |
|
2,1,10 |
|
|||||||||
25. |
z = x2 − x3 y |
в точке |
M(1, −1, 2) |
|||||||||
|
z = xy2 − y3 |
|
|
|
|
M |
( |
2,1, − |
) |
|||
26. |
в точке |
|
1 |
|||||||||
27. |
z = x3 y − x2 |
в точке |
M(−1,1, − 2) |
|||||||||
28. |
z = −x3 y − y |
в точке |
M(2, −1, 9) |
29.z = x2 y3 + y в точке M(2, −1, −5)
30.z = xy3 + y в точке M(−1, 3, − 24)
Задание 2
|
Вычислить приближенно |
с помощью полного дифференциала |
||||
(варианты 1 – 30): |
|
|
|
|
||
1. |
1,02 2,03 |
|
13. |
1,04 2,02 |
||
3. |
(lg100,1)3,01 |
|
2. |
49,01 25,03 |
||
5. |
3,012 + 4,022 |
4. |
5,02 3 |
27,03 |
||
7. |
100,99 +170,98 |
6. |
1,012 |
+ 2,012 + 2,022 |
||
9. |
3,98 (1 + 4,02 ) |
8. |
1,99 sin1,49π |
|||
10. |
lg(7,972 +5,982 ) |
|||||
11. |
18,92 +8,99 |
2 |
||||
|
|
( |
) |
|||
|
|
|
12. arctg 1,02 lg10,3 |
|||
|
|
|
48 |
|
|
14. |
3,99 1,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
15,99 3,99 |
16. |
( |
lg1000,1 |
2,01 |
|
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
17. |
4,97 3 125,1 |
18. |
|
13,042 − 4,992 |
|||||||
19. |
3 32,02 + 2,015 |
20. |
ln(3 1,03 + 4 0,98 −1) |
||||||||
21. |
3,02 tg 1,01π 3 |
22. |
5 ( 2,01 + 8,98 ) |
||||||||
|
|
|
( |
|
) |
||||||
23. |
log13 (2,022 + 3,022 ) |
24. |
|
17,03 + 2,013 |
|||||||
25. |
1,01 2,03 3,9 8 |
26. |
|
o |
cos 45 |
o |
|||||
|
|
tg(3,01 4,022 ) |
sin 31 |
|
|||||||
27. |
28. |
arctg(3 14,98 + 1,02 ) |
|||||||||
29. |
4 2,013 +5,992 |
30. |
tg 44o ctg 29o |
||||||||
|
|
|
|
|
Задание 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать на экстремум следующие функции (варианты 1 - 30): |
|||||||||
1. |
|
z = x |
2 + |
( |
y −1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
z = x |
2 − |
( |
y −1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
z = x2 − x y + y2 − 2x + y |
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
z = x3 + y3 − 3xy |
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
z = x4 + y4 − x2 − 2x y − y2 |
|
|
|
|
|
|
6.z = sin x + cos y + cos(x − y)
7.z = x y ln(x2 + y2 )
8.z = x + y + 4 sin x sin y
9.z = x2 + y 2 + 2x + 4 y − 6
10.z = x 3 + y2 +12xy + 2
49
11.z =8 x + x y + y
12.z = (x −1)2 − 2 y 2
13.z = 2x3 + 2 y3 − 36xy + 4
14.z = x 3 − 4 y3 +12xy
15.z = x y(2 − x − y)
16.z = (x2 + y) e y
17.z = x2 + 2x y − 3y2 +1
18.z = e x−y (x2 − 2 y2 )
19.z = x2 − 4xy − 4 y2 + 2
20.z = x3 − y3 − 6xy
21.z = (2x − x2 )(2 y − y2 )
22.z = x 3 − 2x2 y2 + y4
23.z = x 3 − 3y2 + y + 6x − 7
24.z = x3 + y3 − 3x + 4
25.z = x 3 + y3 −15xy
26.z = xy (x + y −1)
27.z = x3 + x y2 + 6xy
28.z = x 3 − 2x2 y2 + y4
29.z = x y − x2 − y + 6x + 3
30.z = x 3 + 8y3 − 6xy +1.
50
Задание 4
Найти точки условного экстремума функций в области неотрицательных аргументов (варианты 1 – 30):
1. |
z = x y , если x + y =1 |
2. |
z = x 3 + y 4 , если x2 + y2 =1 |
3. |
z = cos2 x + sin2 y , если |
|
x − y = π 4 |
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
z = x + y , если 1 x +1 y = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
z = x + y3 |
, если |
x + 4 y =8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
z = x + 2 y , если |
x2 + y2 =5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
z = x2 + y2 , если |
|
x 2 + y |
3 =1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. |
z = x y2 , если x + y =12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9. |
z = 2x3 + 3x + 2 y3 + 3y , если |
x2 + y2 =1 |
||||||||||||||||||||||||||||
10. |
z = |
1 |
+ |
1 |
, если |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
y |
|
x2 |
|
y2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
z = x y , если x2 + y2 =8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12. |
z = x4 + y 4 , если x + y = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
13. |
z = |
3 |
+ |
4 |
, если |
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
y |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. |
z = 2x2 + 4 y2 , если |
|
x + y =1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
15. |
z = x 3+ y2 , если |
|
x + y =8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
16. |
z = |
1 |
|
+ |
3 |
|
, если |
|
1 |
|
|
+ |
|
9 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
x |
y |
|
x2 |
|
y2 |
64 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
17. |
z = |
5 |
+ |
4 |
3 , если |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
= |
|
1 |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
36 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18. |
z = x y2 , если x + 2 y =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
19. |
z = x 2 + y2 − xy − x − y − 4 , если x + y − 3 = 0 |
||||||||||||||||
20. |
z = 2x2 + 3y2 |
, если |
x + y =1 |
||||||||||||||
21. |
z = (x+ y − 4) |
2 , если |
x2 + y2 =1 |
||||||||||||||
22. |
z = 2x+ y , если |
|
x2 + y2 =1 |
|
|
||||||||||||
23. |
z = x 2 y , если |
x + 2 y =12 |
|
|
|
||||||||||||
24. |
z = |
3 |
+ |
1 |
, если |
|
1 |
|
+ |
3 |
|
= |
|
1 |
|
||
|
|
x |
y |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
16 |
|
||||
25. |
z =x+ 4 y , если |
1 x +1 y = 4 |
|
|
|||||||||||||
26. |
z =x2 + y2 |
, если |
|
x + y = 8 |
|
|
|
||||||||||
27. |
z =x+ 2 y , если |
x2 + y2 =5 |
|
|
|
||||||||||||
28. |
z = 4x+ 9 y |
, если |
1 x +1 y = 3 |
||||||||||||||
29. |
z = x 3+ y3 |
, если |
x + y =8 |
|
|
|
|||||||||||
30. |
z =x2 + y2 |
, если |
|
x2 |
16 + y2 |
9 =1 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5 |
|||||
|
Определить наибольшее и наименьшее значения функций в |
||||||||||||||||
указанных областях (варианты 1 – 30): |
|||||||||||||||||
1. |
z = x − 2 y − 3 , если 0 ≤ x ≤1, |
|
0 ≤ x + y ≤1 |
||||||||||||||
2. |
z = x 2 + y2 −12x +16y , если |
x2 + y2 ≤ 25 |
|||||||||||||||
3. |
z = x 2 − y2 +10 , если x2 + y2 ≤ 4 |
||||||||||||||||
4. |
z = x2 + 2 y2 , если x2 + y2 ≤100 |
||||||||||||||||
5. |
z = x + y , если |
x2 + y2 ≤1 |
|
|
|
||||||||||||
6. |
z = x2 y , если |
x2 + y2 ≤1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
z = x2 − y2 , если |
|
x2 + y2 ≤1 |
|
|
||||||||||||
8. |
z = sin x + sin y + sin(x + y), если 0 ≤ x, y ≤ π 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
9. |
z = x3 + y3 − 3xy , если |
0 ≤ x ≤ 2 , −1 ≤ y ≤ 2 |
|
||||||||||||||
10. |
z = e−x2 y2 (2x2 + 3y2 ), если x2 + y2 ≤ 4 |
|
|
||||||||||||||
11. |
z = |
x2 + y 2 |
|
, если |
|
x |
|
≤1, |
|
y |
|
≤1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 2 + y2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
z = x y , если x2 + y2 ≤1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13. |
z = x − 2 y + 3 , если |
|
x + y ≤1 , |
x ≥ 0 , y ≥ 0 |
|
||||||||||||
14. |
z = x2 + y2 − xy − x − y , если |
x + y ≤ 3 , |
x ≥ 0 , |
y ≥ 0 |
|||||||||||||
15. |
z = x − 2 y +5, если |
|
y − x ≤1, |
x ≥ 0 , y ≥ 0 |
|
||||||||||||
16. |
z = x y2 , если |
x2 + y2 ≤1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
z = 2x 2 + y2 +8x − 8y , если x2 + y2 ≤ 4 |
|
|
||||||||||||||
18. |
z = x 2 y , если |
x2 + y2 ≤ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
z = 2x 2 − y 2 , если |
x + y ≤1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
20. |
z = x 2 + 3y2 − x +18y − 4 , если 0 ≤ x ≤1, |
0 ≤ y ≤1 |
|||||||||||||||
21. |
z = 2x + 3y , если x2 + y2 ≤ 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
22. |
z = x 2 + 3y2 + 2x , если |
|
|
x2 + y2 ≤1 |
|
|
|||||||||||
23. |
z = 4x2 + y2 +16 , если |
|
x = 0 , |
y = 0 |
|
|
|||||||||||
24. |
z = x 2 + y2 − 2x + y , если |
x = 0 , y = 0 , |
x =1 , |
y = 2 |
|||||||||||||
25. |
z = x2 y2 , если |
|
x2 + y2 ≤5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26. |
|
( |
|
|
) |
, если |
0 ≤ x, y ≤ π 2 |
|
|
||||||||
z = sin x + sin x + y |
|
|
|
||||||||||||||
27. |
z = 4x2 + xy + 2 y2 , если x = 0 , y = 0 , x + y = 6 |
|
|||||||||||||||
28. |
z = 2 x2 − 2 y2 + 4x +16y , если |
|
x2 + y2 ≤ 3 |
|
|||||||||||||
29. |
z =5x y2 , если |
|
x2 + y2 ≤ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30. |
z = x 2 +y2 + 2 y , если |
x = 0 , |
y = 0 , x =1 , y = 2 . |
53