V. Приложения определенного интеграла

30):

(

)

1.

ρ= cos 2ϕ,

ρ=1 2

1 2

ρ≥

2.

ρ= 4 cos 3ϕ,

ρ = 2

(

2

)

ρ≥

3.

ρ=

3 cosϕ,

ρ = sin ϕ

(0 ≤ ϕ ≤ π 2)

4.

ρ=cosϕ,

ρ = sin ϕ

(0 ≤ ϕ ≤ π 2)

5.

ρ=0,5 +cosϕ

6.

ρ=

3 sin ϕ,

ρ = cos ϕ

7. ρ= a tg ϕ,

(

a

> 0

)

,

ϕ = π 4

)

8.

ρ= a cosϕ,

ρ = 2a cos ϕ

(

a

> 0

9.

ρ = sin2 (ϕ 2), −π 2 ≤ ϕ ≤ π 2

10.

ρ= 3 +2 cosϕ

11.

y = (x − 2)3 ,

y = 4x −8

)

y = x

9 − x2

, y =

(

0 ≤ x ≤

12.

0

3

13.

y =

1

x

x

,

y = 0 ,

x =1

+

14.

y = 2x − x2 + 3 ,

y = x 2 − 4x + 3

(

)

2 ,

y 2 = x +1

15.

y =

x +1

16.

y =

1

,

y =

x 2

1

+ x 2

2

)

(

2 , y = 0

17.

y = x

x −1

35

18.

y2 +8x =16 ,

y2 − 24x = 48

19.

y = 4 − x2 , y = x2 − 2x

20.

y =

e x

−1 ,

y = 0 , x = ln 2

3

− 3t

21.

x = t

(площадь петли)

2

3t

+1

y =

22.

x =

2 −

3t

, y = 0

y = 2 − t 2

x =1

− 2t

25.

,

y = 0

(y ≥ 0)

2

3t

y =1 −

2

t

26.

x =sin

,

x = 0 ,

y = 0

2

t

y =5 cos

2

27.

x =t

(площадь петли)

3

−t

/ 3

y =t

2

28.

x =t

(9 −t

)

(площадь петли)

2

y =t

2

29.

x =3t

(площадь петли)

3

y =3t −t

2

−1

30.

x = t

(площадь петли)

3

− t

y =t

Задание 2

Вычислить длины дуг кривыx (варианты 1 – 30):

1.

y = ln sin x

)

,

π 3 ≤ x ≤ π 2

(

)

2.

y =1 − ln cos x

,

0 ≤ x ≤ π 6

(

3.

y = x2 2 , 0 ≤ x ≤1

4.

y = ln(1 − x 2 ), 0 ≤ x ≤1 2

5.

y = ch x , 0 ≤ x ≤1

6.

y = ln

e x

+

1

,

1 ≤ x ≤ 2

e x

−

1

7.

y = e x + 2e , ln 3 ≤ x ≤ ln 10

8.

y = 2 ln

4

, 0 ≤ x ≤1

4 − x2

9.

x =

1

y2

−

1

ln y , 1 ≤ x ≤ e

2

4

10.

y = ch x +1 ,

−1 ≤ x ≤ 0

(

)

11.

(t − sin t)

(0 ≤ t ≤ π)

x =5

y = 5

(1 − cos t)

(cos t + t sin t)

12.

(0 ≤ t ≤ 2)

x = 4

y = 4

(

sin t − t cos t

)

t

(cos t + sin t)

13.

x = e

(π 6 ≤ t ≤ π 4)

(

cos t − sin t

)

y = et

2 cos

3

t

14.

x =

(0 ≤ t ≤ π 4)

3

t

y = 2 sin

15.

(0 ≤ t ≤ 2π)

x = 3(2 cos t − cos 2t)

y = 3(2 sin t − sin 2t)

3

t

16.

x =10 cos

(0 ≤ t

≤ π 2)

3

=10 sin

t

y

3

t)3

17.

x = (2 cos

(0 ≤ t

≤ π)

3

=3sin

t

y

t

(cos t + sin t)

18.

x = e

(0 ≤t ≤ π)

t

(cos t −sin t)

= e

y

3

3

19.

x = −t + t

(0 ≤ t ≤ 3)

2

=t

+ 2

y

x =1 −t

20.

(y ≥ 0)

2

=1 −t

y

21.

ρ= 3e3 ϕ 4 ,

−π 2 ≤ ϕ ≤ π 2

22.

ρ= 2 e4ϕ 3 ,

−π 2 ≤ ϕ ≤ π 2

23.

ρ=

2 eϕ ,

−π 2 ≤ ϕ ≤ π 2

24.

ρ =5e5 ϕ 12 , −π 2 ≤ ϕ ≤ π 2

25.

ρ = 6e12ϕ 5 ,

−π 2 ≤ ϕ ≤ π 2

ρ =

(

+ sin ϕ

)

−π 2

≤ ϕ ≤ 0

26.

6 1

)

,

27.

ρ=

(

− sin ϕ

,

0 ≤ ϕ ≤ π 6

4 1

)

ρ=

(

− cos ϕ

−π ≤ ϕ ≤ −π 2

28.

2 1

,

29.

ρ =8 sin ϕ ,

0 ≤ ϕ ≤ π 4

30.

ρ = 6 cosϕ ,

0 ≤ ϕ ≤ π 3

2.

2x − x2 − y = 0 , 2x2 − 4x + y = 0

3.

y = 3sin x ,

y = sin x ,

0 ≤ x ≤ π

4.

y =5cos x ,

y = cos x ,

x = 0 , x ≥ 0

5.

y = sin2 x ,

x = π 2 ,

y = 0

6.

x = 3 y − 2 , x =1, y =1

7.

y = xe x , y = 0 , x =1

8.

y = 2x − x2 , y = x − 2 , x = 0

9.

y = 2x − x2 , y = −x + 2

10.

y = e1−x ,

y = 0 , x = 0 , x =1

13.

y =1 − x2 ,

x = 0 ,

x = y − 2 ,

x =1

14.

y = x2 ,

y =1 ,

x = 2

15.

y = x 3 ,

y =

)

x

(

y = x2

16.

y = sin

πx 2

,

17.

(

)

,

y

= arccos x ,

y = 0

y = arccos x 3

18.

(

)

,

y

= arcsin x , y = π 2

y = arcsin x 5

19.

y = x2 ,

x = 2 ,

y = 0

20.

y = x2 +1,

y = x ,

x = 0 ,

x =1

21.

y = x −1 ,

y = 0 ,

y =1 ,

x = 0,5

39

(

)

23.

y =

x −1 2 ,

y =1

24.

y2 = x − 2 ,

y = 0 ,

y = x3 ,

y =1

25.

y = x 3 ,

y = x2

26.

(

)

y = arccos x 5 , y = arccos x 3 , y = 0

27.

y = arcsin x ,

y = arccos x , y = 0

28.

y = x2 − 2x +1 , x = 2 , y = 0

29.

y = x 3 ,

y = x

(

)

30.

y =

x −1 2 ,

x = 0 ,

x = 2 ,

y = 0 .