Элементарная теория p-n перехода

В диффузионно-дрейфовом приближении плотности электронного и дырочного токов записываются в виде:

(28)

(29)

, (30)

где J - полная плотность тока в полупроводниковой структуре, q – заряд электрона, E – напряженность электрического тока, µ_n – подвижность электронов, µ_p – подвижность дырок, D_n – коэффициент диффузии электронов, D_p – коэффициент диффузии дырок.

Подвижности носителей заряда и их коэффициенты диффузии не являются независимыми величинами и связаны соотношением, которое известно как соотношение Эйнштейна:

. (31)

В сильных электрических полях в уравнениях (28)-(29) следует заменить произведения µE (которые представляют собой средние скорости движения носителей заряда при наличии электрического поля E) на соответствующие скорости насыщения носителей заряда v_нас. Для полупроводников, находящихся во внешних магнитных полях, в правой части уравнений (19)-(20) следует добавить слагаемые J_┴ tg(θ_n) и J_┴tg(θ_p) соответственно, где J_┴ и J_┴ – компоненты плотности электронного и дырочного тока, перпендикулярные магнитному полю, а tg(θ_n)=qµ_nnR_HIHI (и аналогично для дырочной компоненты), где R_H – коэффициент Холла.

В свою очередь, компоненты плотностей тока присутствуют в уравнениях непрерывности, связывающих изменения плотности носителей заряда с плотностями их потоков с учетом процессов генерации и рекомбинации в объеме полупроводника:

(32)

, (33)

где G_n и G_p – темп генерации электронов и дырок в единице объема (см^-3/с), вызываемый внешними воздействиями, такими, как оптическое возбуждение или ударная ионизация в сильных полях. Скорость рекомбинации электронов в полупроводнике р-типа обозначена символом U_n. При малых уровнях возбуждения, когда концентрация избыточных (по сравнению с равновесной концентрацией носителей заряда) мала, то темп рекомбинации можно записать в виде: U_n≈(n_p-n_p0)/τ_n, где n_p – избыточная концентрация неосновных носителей тока, n_p0 термодинамическое равновесное значение этой величины, τ – время жизни неосновных носителей заряда (электронов). Аналогичным образом в полупроводнике n – типа скорость рекомбинации дырок определяется через дырочное время жизни τ_p.

В одномерном случае, после подстановки выражений для плотности токов электронов и дырок (28)-(29) в (32)-33), имеем:

(34)

, (35)

которые еще более упрощаются в стационарном случае, когда .

(36)

. (37)

Равновесные и неравновесные концентрации носителей заряда

Идеализированные вольтамперные характеристики полупроводниковых устройств обычно вычисляются на основе следующих допущений: 1) приближения обедненного слоя с резкими границами, т.е. контактная разность потенциалов и приложенное напряжение уравновешены двойным заряженным слоем с резкими границами, вне которых полупроводник считается нейтральным; 2) приближения Больцмана, т.е. в обедненной области справедливы распределения Больцмана; 3) приближения низкого уровня инжекции, т.е. плотность избыточных носителей заряда мала по сравнению с концентрацией основных носителей.

В состоянии теплового равновесия в приближении Больцмана концентрации равновесных электронов и дырок можно определить из следующих соотношений:

, (38)

где N_c, N_v – эффективные плотности состояний зоны проводимости и валентной зоны, n_i – собственная концентрация носителей заряда полупроводника, E_F – уровень Ферми, E_i – энергетический уровень, соответствующий середине запрещенной зоны полупроводника, ψ и ϕ – потенциалы, соответствующие середине запрещенной зоны и уровню Ферми( ψ=-E_i/q, ϕ=-E_F/q), к – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

В состоянии теплового равновесия из (38) следует:

. (39)

При подаче на переход напряжения смещения по обеим его сторонам происходит изменение концентрации неосновных носителей и произведение pn уже не может равняться n_i². В этом случае вводятся квазиуровни Ферми в соответствие со следующими соотношениями:

, (40)

где ϕ_n и ϕ_p – квазиуровни Ферми для электронов и дырок.

Из (27) следует, что

. (41)

Тогда

. (42)

При прямом смещении (ϕ_p-ϕ_n)>0 и pn>n_i², а при обратном (ϕ_p-ϕ_n)<0 и pn<n_i².

Из выражения (28) и (41) с учетом того, что E=-𝛻ψ, получим

. (43)

Аналогично для дырочного тока имеем

. (44)

Таким образом, плотности электронного тока и дырочного тока пропорциональны градиентам квазиуровней Ферми для электронов и дырок соответственно. Если ϕ_n=ϕ_p=ϕ=const в состоянии теплового равновесия, то J_n=J_p=0. В квазинейтральных областях pn-перехода, где напряженность электрического поля практически равна нулю, квазиуровни Ферми практически постоянны и основное их изменение осуществляется в области пространственного заряда (в обедненной области pn-перехода). Разность электрических потенциалов pn-перехода определяется величиной

. (45)

Учитывая (42), получаем концентрацию электронов на границе обедненного слоя в р-области перехода при x=-x_p

, (46)

где n_p0 – равновесная концентрация электронов в p-области.

Аналогично

, (47)

где n_p0 – равновесная концентрация электронов на границе обедненного слоя в p-области перехода при x=-x_p, а p_n0 – равновесная концентрация дырок в n-области.

Рис.7. Схематическое представление распределения концентраций неосновных носителей заряда вблизи границ обедненной области pn-перехода при прямом смещении (рис.(a)) и обратном (рис.(b)) и плотностей токов при прямом смещении (рис.(с)) и обратном (рис.(d)). При обратном смещении ширина области пространственного заряда увеличивается и, наоборот, при прямом смещении уменьшается.

Полученные выражения (46)-(47) имеют собственное название как граничные условия Шокли и являются основными граничными условиями при вычислении вольтамперной характеристики pn-перехода.