2.1.3. Арифметические свойства пределов

Если существуют пределы то существуют следующие пределы и выполняются равенства:

1) 2)

3) 4)при

Для доказательства воспользуемся определением предела функции по Гейне. Для любой последовательности такой, чтоисоответствующие последовательностииявляются сходящимися и выполняются равенстваТогда согласно свойствам пределов последовательности существую пределы следующих последовательностей и выполняются равенства:

1) 2)

3) 4)при

Согласно определению предела функции по Гейне это означает, что существуют пределы соответствующих функций и выполняются соответствующие равенства.

Упражнение. Пусть и- многочлены. Доказать равенства:

1)

2) если

2.1.4. Критерий Коши существования предела

Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда для любого найдётсятакое, что при всехудовлетворяющих условиям выполняется неравенство

Доказательство. Предположим, что существует Тогда для любого найдетсятакое, что при всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство Следовательно, при всех удовлетворяющих условиям выполняются неравенства что и требовалось доказать.

Докажем обратное утверждение. Нужно показать, что существует Возьмём произвольное Тогда найдётсятакое, что при всехудовлетворяющих условиямвыполняется неравенствоВоспользуемся определением предела функции по Гейне. Возьмём произвольную последовательностьтакую, чтоиТогда для найденногосуществует номертакой, что при всехвыполняются неравенства

Тогда и для последовательностивыполняется условие Коши, следовательно, она сходится.

Осталось показать, что для всех последовательностей с заданными условиями предел последовательностибудет один и тот же. Возьмём две последовательностиитакие, чтоиТогда по доказанному существуют пределы последовательностейиРассмотрим последовательностьтакую, чтоТогдаследовательно, существует предел последовательностиТак как последовательностииявляются подпоследовательностями последовательностито их пределы равны между собой. Согласно определению предела функции по Гейне существует предел

Следствие. У функции в точке не существует предела тогда и только тогда, когда найдётся такое, что для любоготакое, существуютудовлетворяющие неравенствам

Пример. Докажем, что у функции Дирихле не существует предела ни в одной точкеДействительно, возьмёмТогда для любогонайдутсядля которых выполняются неравенстваОднако

2.1.5. Односторонние пределы и пределы на бесконечности

Определение. Число называется пределом функциисправа в точке если для любогосуществуеттакое, что для всехудовлетворяющих условиювыполняется неравенствоЧислоназывается пределом функциислева в точке если для любогосуществуеттакое, что для всехудовлетворяющих условиювыполняется неравенство

Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют равные между собой пределы справа и слева.

Пример.

Определение. Число называетсяпределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любогосуществуеттакое, что для всехудовлетворяющих условиювыполняется неравенствоЧислоназываетсяпределом функции при стремящемся к плюс бесконечности, если для любогосуществуеттакое, что для всехудовлетворяющих условиювыполняется неравенствоЧислоназываетсяпределом функции при стремящемся к минус бесконечности, если для любогосуществуеттакое, что для всехудовлетворяющих условиювыполняется неравенство

Пределы функций на бесконечности обладают теми же свойствами, что и пределы функций в точке.