Приложения производных
Уравнения касательной и нормали к графику функции
Уравнение
касательной к графику функции
в точке
имеет вид:
Уравнение нормали:
Рассмотрим
задание: написать уравнения касательной
и нормали к графику функции
в данной точке
дать графическую иллюстрацию.
Приведем решения примеров.
Пример
1.38.
Решение.
Уравнение
касательной:
Уравнение
нормали:
или
окончательно
П
Пример
1.39.
Решение.
Уравнение
касательной:
Уравнение
нормали:
или
,
окончательно
Приведем график (рис.16).
Задачи для самостоятельного решения
Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в данной точке дать графическую иллюстрацию.
1.23. 
1.24. 
Ответы
1.23.
Уравнение
касательной
.
Уравнение нормали
.
Графическая иллюстрация (рис.17).
Рис.17.
1.24. Уравнение касательной . Уравнение нормали . Графическая иллюстрация (рис.18).
Рис.18.
Первый дифференциал и его применение для приближенных вычислений. Свойства первого дифференциала. Второй дифференциал
Приращение
дифференцируемой функции
в точке
может быть представлено в виде
где величина
такова, что
при
.
Выражение
называется главной линейной частью
приращения функции или первым
дифференциалом и обозначается
т.е.
Тогда приращение функции
записывается в виде
Если
мало, то можно считать, что
Перенеся
в правую часть последнего выражения,
мы получим формулу для приближенного
вычисления значений функции
в точке
:
Приведем свойства первого дифференциала:
1)
;
2)
;
3)
.
Второй
дифференциал функции
имеет вид:
,
где
- вторая производная функции
.
Рассмотрим задание: вычислить значение функции, используя формулу приближенных вычислений.
Пример
1.40.
Вычислить приближенно
Решение.
В качестве точки
естественно взять
тогда
и
В качестве используемой функции возьмем
Тогда
По формуле приближенных вычислений
получим:
Пример
1.41.
Вычислить приближенно
Решение.
Используем функцию
точка
тогда
По формуле приближенных вычислений
получим:
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить значение функции, используя формулу приближенных вычислений.
1.25. 
1.26. 
Ответы
1.25.
.
1.26.
.
Вычисление пределов функций с помощью правила Лопиталя
Правило Лопиталя значительно облегчает вычисление пределов, сводя вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных. Правило Лопиталя формулируется в виде теоремы 1.
Теорема 1. Пусть
в некоторой окрестности V точки
функции
и
дифференцируемы всюду, кроме, может
быть, самой точки
,
и пусть
в V. Если функции
и
являются одновременно либо бесконечно
малыми, либо бесконечно большими при
и при этом существует предел отношения
их производных при
,
то существует также и предел отношения
самих функций, причем
Теорема применима
и при
При использовании
правила Лопиталя на практике следует
проверять условия его выполнения, в
частности, при многократном последовательном
применении правила необходимо
устанавливать на каждом шаге существование
предела отношения производных
соответствующего порядка при
Рассмотрим вычисление пределов функций с помощью правила Лопиталя. Приведем решения примеров.
Пример 1.42.
Решение.
Числитель и знаменатель являются
бесконечно малыми функциями при
(имеем
неопределенность вида
).
Условия теоремы 1 выполнены. Согласно
правилу Лопиталя
Числитель стремится
к нулю, а знаменатель - к единице, значит,
Пример 1.43.
Решение.
Числитель и знаменатель стремятся к
бесконечности при
(имеем неопределенность вида
).
Условия теоремы 1 выполнены. Согласно
правилу Лопиталя
Условия теоремы 1 опять выполнены,
следовательно,
(на каждом шаге
проверяется существование предела
отношения производных). Последнее
выражение не является неопределенным,
а стремится к бесконечности. Окончательно
получим
Приведем пример, когда правило Лопиталя не позволяет вычислить предел.
Пример 1.44.
Решение. Покажем, что конечный предел существует, и вычислим его, не применяя правило Лопиталя:
Применим правило
Лопиталя:
Последний предел не существует, но из этого не следует, что исходный предел не существует.
Правило Лопиталя
применимо и для вычисления предела
выражения
,
который представляет неопределенность
вида: а) 
;
б) 
;
в) 
.
В первом случае
- бесконечно малая функция, во втором
случае
-
бесконечно большая функция, в третьем
случае
- функция,
имеющая предел, равный единице. Функция
в первых двух случаях - бесконечно малая,
а третьем случае - бесконечно большая.
Для вычисления предела равенство
логарифмируется, получаем
После этого находим предел
,
используя правило Лопиталя. Потенцируя,
находим и предел y.
Пример 1.45.
Решение.
Прологарифмируем выражение
по основанию e, получим
Тогда
Условия теоремы 1 выполнены, поэтому применимо правило Лопиталя:
Итак,
следовательно,
