Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу

1 Семестр

МП-10, 11, 12, 13, 14, 15

1. Логическая символика. Отрицание высказываний.

2. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани.

3. Точные верхние и нижние грани множества. Эквивалентные определения.

4. Свойства точных граней.

5. Теорема о существовании точной верхней грани ограниченного множества.

6. Определение предела последовательности. Предельные точки. Единственность предела.

7. Извлечение корня из сходящейся последовательности.

Доказать

8. Ограниченность сходящейся последовательности.

9. Сохранение знака сходящейся последовательности.

10. Предельный переход под знаком неравенства для последовательностей.

11. Лемма о двух милиционерах для последовательностей.

12. Теоремы о сумме и произведении сходящихся последовательностей.

13. Теорема о частном сходящихся последовательностей.

14. Предел монотонной ограниченной последовательности.

15. Бином Ньютона.

16. Число "е".

17. Лемма о вложенных отрезках.

18. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

19. Критерий Коши сходимости последовательности.

20. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Примеры функций, имеющих и не имеющих предела в точке.

21. Ограниченность функции, имеющей конечный предел.

22. Сохранение знака функции, имеющей конечный ненулевой предел.

23. Предельный переход под знаком неравенства для функций.

24. Лемма о двух милиционерах для функций

25. Арифметические действия над пределами функций.

26. Первый замечательный предел.

27. Второй замечательный предел.

28. Критерий Коши существования предела функции.

29. Непрерывность функции в точке. Свойства. Теорема о непрерывности сложной функции.

30. Непрерывность основных элементарных функций.

31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пределы на бесконечности.

32. Определения «о»-малого, эквивалентных функций. Вычисление пределов с помощью эквивалентностей.

33. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.

34. Теорема о максимальном и минимальном значении непрерывной на отрезке функции.

35. Теорема о переходе через 0 непрерывной на отрезке функции.

36. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.

37. Теорема о функции, обратной непрерывной монотонной.

38. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Существование односторонних пределов у монотонных на отрезке функций.

Глава 1. Пределы и непрерывность

§ 1.1. Числовые множества

1.1.1. Ограниченные множества

Определение. Множество называетсяограниченным сверху, если существует число такое, что для всехвыполняется неравенствоПри этом числоназываетсяверхней гранью множества

Если является верхней гранью множества то любое числотакже является верхней гранью множества

Определение. Множество называетсяограниченным снизу, если существует число такое, что для всехвыполняется неравенствоПри этом числоназываетсянижней гранью множества

Если является нижней гранью множества то любое числотакже является нижней гранью множества

Определение. Множество называетсяограниченным, если существует число такое, что для всехвыполняется неравенство

Множество является ограниченным тогда и только тогда, когда оно ограниченно и сверху и снизу.

Определение. Число называетсянаибольшим (наименьшим) элементом множества еслии для всехвыполняется неравенство().

Наибольший (наименьший) элемент множества является его верхней (нижней) гранью. Если существует верхняя (нижняя) грань множествапринадлежащаято усуществует наибольший (наименьший) элемент.

Пример. а) Множество является ограниченным снизу, неограниченным сверху, неограниченным, имеет наименьший элемент, равный 2, не имеет наибольшего.

б) Множество является ограниченным снизу, ограниченным сверху, ограниченным, имеет наименьший элемент, равный 2, не имеет наибольшего.