2.7. Примеры вычисления потенциала

Рассмотрим вычисление потенциала поля, созданного некоторыми заряженными телами.

Рис.3. Расположение точки наблюдения А по отношению к точечному источнику поля q

1. Пример Точечный заряд. Используя соотношения (1) и (4) и совмещая точку 1 с точкой наблюдения А (рис.3), а точку 2 удаляя на бесконечность, получим

(7)

Замечание. До сих пор использовалось понятие векторного поля - поля векторов (каждой точке пространства ставится в соответствие вектор). Представление о потенциале как функции точки пространства позволяет ввести понятие скалярного поля - поля чисел (каждой точке пространства ставится в соответствие, с точностью до произвольной аддитивной постоянной, число ). Поэтому в дальнейшем кроме понятий электростатическое поле и поле , будем использовать понятие поля.

2.Пример. Найдем потенциал бесконечной однородно заряженной с линейной плотностью нити.

Наша задача найти как функцию .

Как уже было показано для бесконечно длинной нити:.

Выберем где-нибудь точку из которой мы стартуем, к примеру в точке , то

.

Договоримся, что в точке старта потенциал равен нулю: , тогда

.

Это при такой нормировке. Если в такой задаче нормировать , то получим,то есть все потенциалы во всех точках бесконечно большие. Кому нужна такая нормировка? Если Вас интересует какой-то конкретный пространственный диапазон, то нормировать надо где-то вблизи этой области, тогда все потенциалами будут конечными приятными числами. От бесконечной нити нельзя уйти на бесконечность, по этой же причине не следует ожидать хорошего результата откак суммы потенциалов точечных фрагментов нити, каждый из которых нормирован условием.

3.Пример. Потенциал поля точечного диполя (первый способ).

Итак, мы рассматриваем точечный диполь и точку наблюдения достаточно далеко от этой нашей гантельки.

Давайте искать потенциал этой точки наблюдения.

Во первых, принцип суперпозиции.

Во-вторых, как известно

.

Учтя, что есть проекция векторанаи то, что расстояние до диполя очень велико, то

Потенциал поля точечного диполя (второй способ).

Используем готовую формулу для напряженности поля:

. Вот такое выражение мы с вами в свое время вывели. Обопремся на него.

Давайте выберем такое направление, чтобы нам было удобно вычислять этот интеграл, так как поле потенциальное, то результат не будет зависеть от вида траектории. Ориентация диполя, направление движения и векторпоказаны на рисунке. С учетом некоторых соотношений (5) примет вид:

Определение вектора точечного диполя из в полярной системе координат.

Оператор запишется в полярной системе координат так:

Ортыкоординатных осей декартовой и полярной систем координат (см.рис.)

4.Пример

См. Иродов задача 3.38. (часть2)

Показать, что потенциал диполя с электрическим моментом может быть представлен как, где–радиус вектор. Найти с помощью этого выражения модуль напряженности электрического поля диполя как функциюи.

- это уже показали выше, отсюда, раскрывая скалярное произведение и продифференцировав формулу для потенциала, мы получим .