2.7. Физический смысл градиента (подробно прочитать- литература 6, стр.80-82)

Рассмотрим приращение потенциала d вдоль произвольно ориентированного элемента перемещения . Величина d зависит, с одной стороны, от распределения поля (x, y, z) в пространстве, а с другой стороны, от выбора точек сравнения 2 и 1. Учитывая малость dr, можно записать

(6)

Здесь

Рассмотрим величину d при перемещении точки 2 по элементарной сфере радиусом dr (вектор меняется только по правлению) (рис.1.). Из формулы (6), записанной в виде

,

Рис.1. Элементарный вектор c закрепленным в точке 1 началом. При изменении положения в пространстве точка 2 движется по поверхности сферы

видно, что максимальная величина соответствует такому направлению , при котором (так как), другими словами:

1) направление вектора градиента потенциала указывает направление наиболее быстрого возрастания поля в пространстве;

2) величина вектора определяет “скорость” пространственного изменения поля в направлении его наиболее быстрого возрастания (Возможно, следовало выразиться как-то осторожней, чтобы не связывать понятие скорости, имеющее смысл производной по времени, с величиной производной по координате, однако такое словоупотребление весьма распространено в литературе);

3) “скорость” пространственного изменения потенциала в произвольном направлении (задаваемом вектором ) равна проекции вектора градиента на это направление.

На основании изложенного выше и выражения (5) приходим к следующему утверждению.

Вектор поля в данной точке пространства направлен в сторону наиболее резкого уменьшения потенциала, а его величина равна скорости убыли потенциала в этом направлении.

Введем понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение.

Выделим поверхность одинакового потенциала и построим в любой ее точке локальную систему координат ХYZ так, что оси ОХ и ОY будут касательны к эквипотенциальной поверхности, а ось OZ направим по нормали к поверхности в сторону возрастания потенциала (рис. 2).

Рис. 2. Взаимное расположение трех эквипотенциальных поверхностей (), вектора градиента потенциала и вектора напряженности электрического поля. Изображена также локальная декартова прямоугольная система координат XYZ, ось Z которой направлена вдоль нормали к элементу поверхности  

По построению в точке 0 и, следовательно,

,

т.е. вектор градиента поля, а значит, и вектор, нормален к эквипотенциальной поверхности в любой ее точке. Поскольку направление определяет направление силовых линий, то очевиден вывод о том, что линии поля нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электростатического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности параллельные линии.

На рис.  представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

Рисунок Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда

Вопрос из ОРОКСА

Две линии напряженности электрического поля не могут пересекаться в одной точке. Можно ли утверждать, что две эквипотенциальные поверхности также не могут пересекаться в одной точке?

Ответ: Две эквипотенциальные поверхности могут пересекаться в одной точке при условии, что напряженность поля в этой точке равна нулю. В самом деле, вектор напряженности определяет направление нормали к каждой эквипотенциальной поверхности. Так как поверхности пересекаются, в точке пересечения их нормали не совпадают, а значит, электрическое поле не может иметь определенного направления. Это возможно только при нулевом значении величины поля.

Модель 1.2.  Электрическое поле точечных зарядов

Компьютерная модель демонстрирует картину силовых линий и эквипотенциальных поверхностей точечного заряда и системы из двух точечных зарядов. Можно изменять величины зарядов и их знаки, а также расстояние между зарядами. При установке курсора в любой точке и нажатии левой клавиши мыши компьютер высвечивает на дисплее значения модуля вектора напряженности электрического поля и потенциала φ в данной точке. Следует обратить внимание, что в электрическом поле двух точечных зарядов возможны сферические эквипотенциальные поверхности.