- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов
.
Поставим в соответствие конкретной системе операторы и:
В декартовой системе координат ,.
Здесь n– число точек в системе.
.
- функция от оператора координаты.
Мы рассматриваем - представление, здесь
Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).
Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле
Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.
отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.
.
Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.
.
Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индексa убирается.
Внутреннее взаимодействие неаддитивно.
Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:
Тогда , или в-представлении, то
,
тогда .
Если материальная точка во внешнем поле:
,,
Нестационарное поле .
Стационарное поле .
Центральное поле .
Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.
В случае классической механики: .
Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.
Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.
В квантовой механике в -представлении:
,
,
где
§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
Для свободной материальной точки .
, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.
Это трехмерная задача
Оператор Лапласа
Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.
Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде
,
где
Для имеем
.
Обозначим
.
Тогда
Решение этого уравнения
Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит, сохраняется направление движения частицы.
Мы выбираем движение частицы по направлению оси x.Тогда в силу сохранения импульса имеем.
Для трехмерного случая
Полная волновая функция
(26.1)
Рассмотрим теперь коммутатор
Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда. Из этого следует:
-интеграл движения.
Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.
Найдем собственные значения оператора импульса.
{используем, что, т. е.} =
=.
Тогда собственное значение оператора :
Это первое дебройлевское соотношение.
Из (26.1) вводится - второе дебройлевское соотношение.
Используем, что
Уравнение (26.1) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.
§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем
Интересующее нас решение ищем на отрезке
.
Поскольку в точках x=0 иx=aпотенциальная энергия частица обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы областиравна нулю. Оказавшись в этой области частица все время будет находиться в ней. Из определения волновой функции следует
где в.ф. удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера
совпадающему с определением оператора , т.е. функцияесть собственная функция этого оператора, соответствующая собственному значению Е. Из сказанного вытекают граничные условия, накладываемые на решение уравнения.
Таким образом, приходим к задаче
От сюда следует:
(*)
Положительность собственного значения Е оператора вытекает из положительности. Решение уравнения (*) представимо в виде супепозиции двух элементарных сосотояний, которые на языкеинтерпритируются как волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях осиx:
Подстановка решения в граничные условия приводит к системе однородных уравнений
(**)
Для неизвестных коэффициентов С+/_. Критерий существования нетривиального решения данной системы
дает условие квантования
собственного значения Е. Это означает, что обладает дискретным спектром. Вводя согласно (**) обозначения
где С- неизвестная пока вещественная (в силу наличия у в.ф. произвольного фазового множителя) константа, для искомой в.ф. будем иметь
Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид
От сюда, интегрируя, получаем
Подставляя найденное значение константы, запишем решение задачи в окончательной форме