- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
§4. Полный набор динамических переменных
Полный набор динамических переменных – это наибольший набор независимых одновременно измеряемых динамических переменных. Измерение полного набора динамических переменных полностью определяет состояние квантово-механической системы. Число динамических переменных в квантовой системе - nи по сравнению с классической системой (2n) уменьшается в 2 раза. Максимальный набор – это значит, что к этому набору не может быть добавлена ни одна другая переменная, которая не являлась бы их функцией. В этом случае они не зависимы. Каждая из этих переменных не является функцией другой переменной из этого же набора. Заметим, что здесь зависимость не линейная (как в линейной алгебре), а функциональная.
§5. Постулаты квантовой механики
Часто выделяют 4 постулата:
Постулат о волновой функции.
Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.
Динамические переменные одновременно измеримы. -n– мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени- описывает эволюцию квантово-механических систем. классической механике задание2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона. В квантово-механической системе описывается эволюция системы через- функцию отnдинамических переменных.
О связи физических величин и объектов математики (операторов).
Каждой физической величине (наблюдаемой) ставится в соответствие оператор: .
Связь между результатами измерения физической величины и значением оператора(т. е. решением математических задач)
Пусть - значение физической величины, которое получено в результате измерения системы, находящейся вi-том квантовом состоянии.
является одним из собственных значений оператора. Это задача на собственные функции и собственные значения. Задача определяет собственные значения, соответствующиеи определяет собственные функции, соответствующие собственным значениям. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре. Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.
Определение среднего значения физической величины
Здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства. Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций). Если - квадратично интегрируемые функции, тогда:
Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан перехода. Значок «*» означает комплексное сопряжение.
Это аналог длины в векторном пространстве.
§7. Волновая функция и ее свойства
Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.
т. е. иописывает одно и тоже состояние, где- фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции- нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точкине нормируема.
- элементарный объем
- вероятность того, что динамические переменныележат в интервале. Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величинапропорциональна плотности вероятности.