- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
§12. Среднее значение измеряемой величины
По определению
(12.1)
Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора:
(12.2)
По равенству Парсеваля .
Т.к. оператор линейный, то его можно занести под знак суммы:
(12.3)
Подставляя (12.3) в числитель, а (12.2) в знаменатель для (12.1), имеем
Из теории вероятности , где- вероятность получения, тогда
§13. Вероятность результатов измерения
Пусть - вероятность того, что при измерении величиныдля системы, находящейся в состояниимы получим результат. Если система находится в состоянии, то величинапри измерении выходит с вероятностью равной 1:
В общем случае;
Если полная производная оператора удовлетворяет равенству
,
то собственная функция оператора описывает состояние системы.
Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины Aдля системы, находящейся в состоянии, лежит в интервале отдо, определяется следующим выражением:
,(13.1)
или плотность вероятности
§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
Будем использовать координатное представление (-представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводится к умножению на вектор , т. е.(это определение действия оператора ).
Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
,
однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.
Оператор энергии или гамильтониан :
,
здесь - оператор кинетической энергии,- оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.
Тут присутствует и , ноиодновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо, либооказываются неизвестными.
§ 19 Волновое уравнение
Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.
Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.
Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
Норма волновой функции:
- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале.
Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.
На базе ограничения получим некоторые ограничения на.
Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.
Но - число вещественное. Отсюда можно представить
(19.1)
Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.
Подставим (19.1) в равенство , тогда
- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор- эрмитов: .
Свойства оператора :
В пределе перехода к классической механике: , то, гдеS – действие из классической механики. Причем, тогда рассматривая
, (19.2)
где - функция Гамильтона.
В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (19.2), то: .
Получили волновое уравнение:
- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).
Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.