2.4. Выбор формы тренда

Остановимся подробнее на проблеме выбора математической функции для описания основной тенденции развития, то есть выбора подобной реальной динамике формы уравнения.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени или модели этого процесса применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени ,

полином второй степени , (2.26)

полином n-й степени .

Наиболее простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда.

Однако при этом подходе риск ошибочного выбора кривой очень велик. Разные специалисты, исходя из одного и того же графика, могут прийти к разным заключениям по поводу формы уравнения.

Правильность выбора уравнения в некоторой мере зависит от масштаба графика.

Однако в несложных случаях подход графического выбора может дать вполне приемлемые результаты.

Подбор класса выравнивающих кривых для временного ряда производится на основе качественного анализа представленного им процесса, а также если известны:

¹, ², ³…….ⁱ – первые, вторые, третьи и т.д. разности или абсолютные ускорения;

Tp_ – темпы роста первых абсолютных приростов уровней;

lgy_i – первые абсолютные приросты логарифмов уровней;

Т_р – темпы роста.

В этих случаях критерии выбора типа кривой следующие (табл. 2.11).

Таблица 2.11

Критерии выбора трендовых моделей

Показатель	Изменение уровней временного ряда	Уравнение кривой	Наименование функции
	более или менее постоянные	yt=a0+a1t	линейная
	уменьшающиеся	yt=a0+a1/t	гиперболическая
	постоянны	yt=a0+a1t+ a2t2	параболическая 2-ой степени
	постоянны	yt=a0+a1t+ a2t2+ a3t3	параболическая 3-ей степени
	постоянны	yt=a0+a1t+ a2t2+ a3t3+ a4t4	параболическая 4-ой степени
Tp	постоянны	yt= a0a1t	экспоненциальная
Tp	сначала быстро растут, а затем рост изменяется	yt=a0+a1lgt	полулогарифмическая
lgyi	изменяется с постоянным темпом роста	yt=abc	кривая Гомперца

Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Практика моделирования свидетельствует о том, что выбор тех или иных кривых всегда оказывается под воздействием представлений о желаемой форме кривой, и что на координатном поле, отображающем расстояние точек, можно построить бесконечное множество кривых. При этом необходимо отражать особенности процесса. Свойства процесса должны соответствовать свойствам функций, используемых для построения моделей.

Необходимо иметь в виду, что отдельные уравнения выражают определенный тип динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

• линейная;

• параболическая;

• степенная;

• экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;

• сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола;

• гиперболическая (главным образом убывающих процессов);

• комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, насыщением, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

или , (2.27)

где:

е – основание натуральных логарифмов.

Тип процессов, характеризующихся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее выражение:

. (2.28)

Возможны четыре варианта этой кривой.

При выборе формы тренда наряду с теоретическим анализом закономерностей развития изучаемого явления используются эмпирические методы, такие как:

• расчет и анализ средней квадратической ошибки;

• критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению;

• метод разностного исчисления;

• метод дисперсионного анализа.

Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле:

, (2.29)

где:

k – число параметров уравнения.

Чем меньше значение средней квадратической ошибки, тем функция наилучшим образом описывает тенденцию исходного временного ряда.

На основе данных табл. 2.10 рассмотрим порядок расчета средней квадратической ошибки по линейному тренду и параболе второго порядка показателя объема платных услуг населению одного из регионов, представленных в табл. 2.12.

Так, например, для уравнения линейного тренда, средняя квадратическая ошибка составит:

==0,78,

а для параболы второго порядка:

==0,75.

Анализ приведенных значений средних квадратических ошибок свидетельствует о том, что уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению.

Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических также предполагает, что наилучшим образом тенденция описывается трендом, которому соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений.

Так на основе приведенных в табл. 2.12 расчетов видно, что для уравнения линейного тренда, описывающего тенденцию изменения объема платных услуг населению , а для уравнения параболы второго порядка Следовательно, уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению одного из регионов РФ.

Дисперсионный метод анализа основывается на сравнении дисперсий.

Суть метода в следующем: общая вариация временного ряда делится на две части:

• вариация вследствие тенденции V_f(t);

• случайная вариация V_ :

V_общ = V_f(t) + V_ε

Общая вариация определяется как сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней ряда (y_t) от среднего уровня исходного временного ряда (), то есть из выражения вида:

. (2.30)

Случайная вариация – это сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней (y_t) от теоретических полученных по уравнению тренда (), и определяется по выражению следующего вида:

, (2.31)

Вариация вследствие тенденции определяется как разность общей и случайной вариаций из выражения вида:

V_f(t) = V_общ – V_. (2.32)

На основе рассмотренных показателей вариации определяются следующие виды дисперсии:

• общая дисперсия:

; (2.33)

• дисперсия случайного компонента:

, (2.34)

где:

k – число параметров уравнения тренда.

• дисперсия тенденции:

. (2.35)

Выдвигается и проверяется гипотеза о том, что подходит или не подходит рассматриваемое уравнение тренда для описания тенденции исходного временного ряда.

Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по следующей формуле:

, если (2.36)

Критическое значение критерия определяется по таблице табулированных значений (приложение) следующим образом:

Если F_p > F_кр при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы (₁ =k – 1, ₂ = n – k), то уравнение тренда подходит для отражения тенденции исходного временного ряда.

Анализ необходимо начинать с более простого уравнения к сложным, пока не подойдет.

Пример. Проверим с помощью дисперсионного метода анализа, какое из двух рассмотренных выше (таблица 2.12) уравнений тренда наиболее подходит для описания тенденции исходного временного ряда объема платных услуг населению одного из регионов. Расчеты приведены в таблице 2.13.

Средний уровень исходного временного ряда составит:

.

Таблица 2.13