- •Сопротивление материалов
- •Часть 1
- •Общие положения и указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Лекция № 1
- •Часть 1.
- •Геометрические характеристики плоских сечений
- •Размеры стальных профилей
- •Задание 1. Сечения составных балок из стальных профилей
- •2. Растяжение прямых стержней определение напряжений и деформаций Лекция № 3
- •Лекция № 4 Растяжение (сжатие) прямого стержня
- •Модуль продольной упругости для стали принять равным
- •3. Кручение стержней круглого сплошного сечения Лекция № 5 Сдвиг, кручение стержней круглого сечения
- •4. Изгиб. Статически определимые балки и рамы Лекция № 6 Изгиб. Расчет статически определимых балок и рам. Определение всф и напряжений при изгибе.
- •Общие понятия о деформации изгиба
- •Типы опор балок
- •Правило знаков при изгибе
- •Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки
- •Условие прочности по нормальным напряжениям
- •Условие прочности по касательным напряжениям
- •Расчет на прочность по допускаемым напряжениям
- •Расчет на прочность по разрушающим нагрузкам
- •Исходные данные к задаче - 4, 4а, 4б
- •Основные обозначения Система си
- •Оглавление
Правило знаков при изгибе
!!!Момент считается «+», если слева от сечения направлен против часовой стрелки, а справа по часовой.
Если балка прогибается выпуклостью вниз, то эпюра моментов будет «+»
Момент считается «+», если слева от сечения направлен против часовой стрелки, а справа по часовой. Если балка прогибается выпуклостью вниз, то эпюра моментов будет «+»
|
| ||
| |||
Поперечная сила Q «+», если эпюра моментов восходящая слева направо.
| |||
Поперечная сила Q «-», если эпюра моментов восходящая справа налево. |
Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки
Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой. Определим поперечную силу в сечении, стоящем от левой опоры на расстоянии . Спроецировав на вертикаль все силы, расположенные левее сечения, получим:
Аналогично вычислим поперечную силу в смежном сечении, расположенном на расстоянии от левой опоры:
Производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
Вычислим теперь изгибающий момент в сечении с абсциссой , взяв сумму моментов сил, приложенных слева от сечения. Для этого распределенную нагрузку на участке длинойзаменим ее равнодействующей, равнойи приложенной в середине участка, на расстоянииот сечения:
Аналогично вычислим изгибающий момент в смежном сечении, стоящем от левой опоры на расстоянии
(2)
Вычитая из (1) – (2), получим:
т.е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе (теорема Журавского).
Взяв производную от обеих частей равенства, получим:
т.е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
Все полученные зависимости будем использовать в дальнейшем главным образом при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Условие прочности по нормальным напряжениям
Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т.е. в сечении, где имеет наибольшее значение, не превосходили соответствующих допускаемых напряжений:
Величина называется осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.
Значения для простейших фигур у нас есть в таблицах ГХПС.
Для прокатных сечений (двутавры, швеллера и т.п.) значения указаны в таблицах сортаментов.
Для подбора сечения балки из выше написанного уравнения получим зависимость:
Найдя по этой формуле допускаемый изгибающий момент и зная связь между моментом и нагрузкой (по построенной эпюре моментов) можно определить допускаемую нагрузку.
Условие прочности по касательным напряжениям
- формула Журавского
Закон распределения по сечению касательных напряжений для балки прямоугольного сечения определяются законом изменения , т.к. остальные величины для данного сечения постоянны, причем.
Статический момент относительно оси равен:.
Потенциальная энергия деформации при изгибе
Потенциальную энергию изгиба, равную работе внутренних сил, взятую с обратным знаком, можно определить по формуле:
В общем случае изгиба в поперечных сечениях балки кроме изгибающих моментов возникают еще и поперечные силы.
Как показывают исследования поперечная энергия сдвига невелика и ею обычно пренебрегают.
Поэтому данная формула пригодна и для чистого, и для общего случая изгиба.
Лекция № 7
Расчет на прочность.
Метод допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок.
Допускаемые напряжения.
Расчет на прочность по допускаемым напряжениям.
Расчет на прочность по разрушающим нагрузкам.
Допускаемые напряжения
В результате испытаний на растяжение (сжатие) можно получить основные данные о механических свойствах материала. Рассмотрим, как можно полученные результаты применить в практических расчетах инженерных конструкций на прочность.
Детали машин и других конструкций должны удовлетворять условиям прочности и жесткости. Размеры деталей необходимо подбирать такими, чтобы под действием приложенных нагрузок они не разрушались и не получали деформаций, превышающих допускаемые. В большинстве деталей машин остаточные деформации, как правило, не допускаются.
Заметные остаточные деформации появляются в пластичных материалах, когда напряжения достигают предела текучести . Разрушение наступает, когда напряжения достигают величины предела прочности; при этом деформации хрупкого материала могут быть незначительными.
Итак, для деталей, изготовленных из пластичного материала, опасным напряжением можно считать предел текучести ; для деталей из хрупкого материала – предел прочности.
Естественно, что эти напряжения не могут быть приняты в качестве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения всегда были меньше предела пропорциональности.
Таким образом, допускаемое напряжение может быть определено по формуле:
где - опасное (предельное) напряжение
- нормативный коэффициент запаса прочности (т.е. предписываемый нормами проектирования и конструирования).
Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от состояния материала (хрупкое или пластичное), характера приложения нагрузки (статическая, динамическая или повторно-переменная) и некоторых общих факторов, имеющих место в той или иной степени во всех случаях.
К этим факторам относятся:
1. Неоднородность материала и, следовательно, различие его механических характеристик в образцах и реальных деталях.
2. Неточность задания величин внешних нагрузок.
3. Приближенность расчетных схем и некоторая приближенность расчетных формул.
4. Учет конкретных условий работы рассчитываемой конструкции.
5. Метод определения напряжений (степень точности этого метода).
6. Долговечность и значимость проектируемого сооружения или машины.
Эти факторы учитывает коэффициент запаса прочности , который иногда называют основным.
Коэффициент определяется опытным путем.
В каждой области техники уже сложились свои традиции, свои требования, свои методы и специфика расчетов, в соответствии с которыми и назначается коэффициент запаса прочности.
Величина нормативного коэффициента запаса прочности регламентируется для строительных конструкций - СНиП, для машиностроительных – внутриотраслевыми заводскими нормами.
Величина запаса прочности зависит от того, какое напряжение считается опасным.
Для пластичных материалов в случае статической нагрузки опасным напряжением, как уже сказано следует считать предел текучести, т.е.
, а , тогда:
где - коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести.
На основании данных длительной практики конструирования, расчета и эксплуатации машин и сооружений, величина коэффициента запаса прочности для сталей при статической нагрузке принимается равной.
Для хрупких материалов при статических нагрузках опасное напряжение – предел прочности, т.е.
, а , тогда:
где - коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности.
Величину коэффициента запаса прочности для хрупких материалов обычно принимают равной от . Допускаемые напряжения, получаемые по этой формуле, обычно называют основными допускаемыми напряжениями в связи с тем, что предел прочности определить проще, чем предел текучести.
Поэтому иногда и для пластичных материалов при определении допускаемых напряжений исходят из величины предела прочности, пользуясь формулой:
В этом случае, учитывая, что превышаетна 50-70%, коэффициент запаса прочностидля пластичных материалов принимают равным.
Расчет на прочность по допускаемым напряжениям предполагает выбор нормативного коэффициента запаса прочности , который выбирается из таблиц, составляемых на основании большого числа экспериментальных исследований.
Однако иногда размеры конструкции или детали уже известны (заданы из эксплуатационных или других требований).
В этом случае расчетным путем определяют фактический коэффициент запаса прочности . Для этого рассчитывают в опасном сечении детали
и, зная для материала детали предельное напряжение или, определяют фактический коэффициент запаса:
- для хрупких материалов
- для пластичных материалов
Затем расчетный и нормативный коэффициенты сравнивают между собой, и дается заключение о работоспособности конструкции.
Выбор величины допускаемых напряжений очень важен, т.к. от правильного установления их значений зависят прочность и безопасность проектируемых конструкций, а также экономичность расчета.
Ориентировочные величины основных допускаемых напряжений, принятые в настоящее время для наиболее распространенных материалов, приводятся в справочной литературе.
Конечной целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальных затратах материала.