Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 341

из вып. 1) для фиксированного нами Е> О найдется д > О такое,

что при 1111 < д и при всех t из [-7Г, 7Г]

лю интегралъного модуля непрерывности 1(15, f) при б --+ О имеет место

не тОЛЪ1;;О для любой 1;;усо'Чно-неnрерывной, но и для любой интегрируемой

(в собственном смысле Римана) на сегменте [-1Г, 1Г] фУН1;;'Ции f(x). Для

доказательства этого фиксируем произвольное с > О и заметим, что в силу

интегрируемости f(t) на сегменте -1Г ~ t ~ 1г найдется ба > О такое, что

для л ю б о г о разбиения сегмента [-1Г, 1Г] на частичные сегменты дли­ ны, меньшей ба, разность между верхней и нижней суммами функции f(t) будет меньше 10/4. Фиксируем некоторое разбиение Т сегмента [-7Г, 7Г] на частичные сегменты р а в н о й длины б < ба. Из того, что f(t) - периоди­ ческая функция, вытекает, что для любого lul ~ б и для фиксированного

нами разбиения Т сегмента -7Г ~ t ~ 7г разность между верхней и нижней

суммами функции f(t+u) (при достаточно малом б) будет по крайней мере меньше 10/2. Но отсюда следует, что при фиксированном нами разбиении Т разность между верхней и нижней суммами функции [f(t + и) - f(t)] при

нами разбиения Т верхнюю и нижнюю суммы функции [f(t + и) - f(t)] со-

ответственно через 5 и 8, а верхнюю и нижнюю суммы функции If(t + и)­

-f(t)1 соответственно через S и 8. В § 5 гл. 10 вып. 1 установлено, что для

любого разбиения верхняя и нижняя суммы 5 и 8 самой функции и верхняя

и нижняя суммы S и 8 модуля этой функции связаны соотношением S -

-8 ~ 5-8. Таким образом, для фиксированного нами разбиения Т справед­

ливо неравенство S - 8 < 310/4. Но это означает, что для фиксированного на­

ми разбиения Т разность между л ю б о й интегральной суммой функции

7r

If(t+u)- f(t)1 и интегралом J If(t+u)- f(t)1 dt меньше числа 310/4. Если мы

выберем в этой интегральной сумме все промежуточные точки ~k в центре

соответствующих частичных сегментов длины б и потребуем, чтобы число

и удовлетворяло неравенству lul < 15/2, то обе точки ~k и ~k + и будут при­ надлежать k-MY частичному сегменту, и потому разность If(~k +и) - f(~k)1

342 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10

не будет превосходить колебания Mk - mk функции f(t) на k-M частичном

сегменте 1). Но тогда вся указанная интегральная сумма не будет превос­

ходить суммы "L;(Mk - mk)!:;;.tk, равной разности верхней и нижней сумм функции f(t) для разбиения Т, т. е. не будет превосходить числа Е/4. От-

7r

сюда следует, что при lul < 5/2 интеграл J If(t+u) - f(t)1 dt не превосходит

числа Е, что и доказывает стремление 1(5, f) к нулю при 5 -+ О.

Извлечем теперь из леммы 2 ряд важных для дальнейшего

следствий.

Следствие 1. Если Фу'Н/х;'Ция f (t) 'Х:усо'ч//-tо-неnрерывна на

сегменте [-К, К] и nериоди'Чес'Х:и (с периодом 2к) продолжена

при lul < д.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделав в интеграле, стоящем в левой

части (10.62), замену переменной т = х + t:

мы убедимся в том, что неравенство (10.62) является следствием

(10.61).

Следствие 2. Если 'Х:аждая из фун'Х:'Ций f(t) и g(t) 'Х:усо'Чно­ непрерывна на сегменте [-К, К] и nериоди'Чес'Х:и (с периодом 2к)

продолжена на всю бес'Х:оне'Чную прямую, то фун'Х:'Ция

1г

I(x) = J f(x + t)g(t) dt

-1Г

является непрерывной фун'Х:'Цией х на сегменте -К ~ х ~ К.

Доказательство. Пусть х -любая точка сегмента

[-К, К]. Тогда

1г

I(x + и) - I(x) = J [f(x + t + и) - f(x + t)]g(t) dt,

-1Г

1) Через Mk и mk мы обозначаем точную верхнюю и точную нижнюю

грани функции f(t) на k-M частичном сегменте.

§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 343

и поскольку кусочно-непрерывная на сегменте [-К, К] функ­

ция g(t) удовлетворяет на этом сегменте условию ограничен­ ности Ig(t)1 ~ м, то

1г

11 (х + и) - 1 (х) I ~ м J If (х + t + и) - f (х + t) Idt

-1Г

и потому в силу (10.62) для любого Е > О

II(x + и) - I(x)1 < Е при lиl < б(Е).

Непрерывность I(x) в точке х доказана.

С.ледсmвuе 3. Если nажда,я, из фу'Нn'Ций f(t) и g(t) nУСО'Ч'НО­

'Неnрерыв'На 'На сегме'Нте [-к, к] И nериоди'Чесnи (с периодом 2к) nродолже'На 'На всю бесnо'Не'Ч'Ную nр,я,мую, то триго'Нометри'Че­

сnие nоэффи'Цие'Нты Фурье фу'Нn'Ции F(x, t) = лх + t)g(t) при

разложе'Нии ее по nереме'Н'Ной t

сход,я,тс,я, n 'Нулю (при n ----7 (Х)) рав'Номер'Но от'Носитель'Но х 'На сегме'Нте [-к, к] (а стало быть, и 'На всей бесnо'Не'Ч'Ной nр,я,моЙ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любой фиксированной точки х

сегмента [-К, К] функция F(x, t) = f(x + t)g(t) является ку­

сочно-непрерывной функцией аргумента t на сегменте [-к, к]

и, стало быть, для этой функции справедливо равенство Парсе­

валя 1)

Из равенства (10.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке х сегмента [-К, К].

Так как указанный ряд состоит из н е о т р и Ц а т е л ь н ы х чле-

нов, то в силу теоремы Дини 2) для доказательства равномер­

ной на сегменте [-К, К] сходимости указанного ряда достаточно

1)См. следствие 1 из п. 3 § 3 этой главы.

2)См. теорему 1.5 (фОРМУЛИРОВКУ в терминах рядов).

§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 345

и учитывая, что f(x + t) равняется нулю при условии, что х принадлежит сегменту [а + д, Ь - д], а t принадлежит сегменту

I t I ~ д 1), мы можем следующим образом переписать равенство

(10.55) для каждой точки х сегмента [а + д, Ь - д]:

Sn(x, 1) = :; J1г ЛХ+ t)g(t) sin(n + ~)tdt.

-1Г

Остается принять во внимание, что последовательность, стоя­

щая в правой части последнего равенства, в силу следствия 4 из п. 3 сходится к нулю равномерно относительно х на всей беско­ нечной прямой. Лемма доказана.

Непосредственными следствиями доказанной леммы явля­

ются следующие две теоремы.

Теорема 10.13. Пусть фУ'Н'Х:'И,ИЯ f(x) 'Х:усо'Ч'Но-'Неnрерыв'На 'На сегме'Нте [-7Г, 7Г] И nериоди'Чес'Х:и (с периодом 27Г) nродолже­ 'На 'На всю бес'Х:о'Не'Ч'Ную прямую, и пусть [а, Ь] -'Не'Х:оторыи сег­

ме'Нт. Для того 'Чтобы триго'Нометри'Чес'Х:иu ряд Фурье ФУ'Н'Х:-

достато'Ч'Но, 'Чтобы существовала 'Х:усо'Ч'Но-'Неnрерыв'Ная 'На сег­

ме'Нте [-7Г, 7Г] И nериоди'Чес'Х:ая (с периодом 27Г) фУ'Н'Х:'И,ИЯ g (х), обладающая рав'Номер'Но сходящимся 'На сегме'Нте [а, Ь] триго­ 'Нометри'Чес'Х:им рядом Фурье и совпадающая 'На сегме'Нте [а, Ь] с фу'Н'Х:'И,иеu f(x).

До к аз атель ст в о. Применяя лемму 3 к разности [ЛХ)­ - g(x)], мы получим, что тригонометрический ряд Фурье раз-

1) в силу того, что функция f(x) равна нулю на всем сегменте [а, Ь].

346 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ.1а

и из равномерной на сегменте [а, Ь] сходимости тригонометриче­ ского ряда Фурье функции g(x) вытекает равномерная на сег­ менте [а + д, Ь - д] сходимость тригонометрического ряда Фурье функции f(x). Тот факт, что последний ряд сходится на сегмен­ те [а+д, Ь-д] именно к функции f(x) непосредственно

вытекает из следствия 5 п. 3 § 3 этой главы. Теорема доказана.

Теоре,м,а 10.14. Пустъ фу'Н/х;'Цuя f(x) к:усо'ч//-tо-неnрерывна

на сег,менте [-п, п] u nерuодu'Ческ:u (с nериодо,м 2п) nродол:же­

на на всю беск:оне'Чную nря,мую, u nустъ ха - нек:оторая то'Чк:а беск:оне'Чной nря,мой. Для того 'Чтобы трuгоно,метрu'Ческ:uй ряд

Фуръе функ:'Цuu f(x) сходuлся в то'Чк:е ха, достато'Чно, 'Чтобы

существовала к:усо'Чно-неnрерывная на сег,менте [-п, п] u nе­

рuодu'Ческ:ая (с nериодо,м 2п) функ:'Цuя g (х), обладающая сходя­

щu,мся в то'Чк:е ха трuгоно,метрu'Ческ:u,м рядо,м Фуръе u совпа­

дающая с f(x) в к:ак: угодно ,малой д-ок:рестности то'Чк:u ха.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить лемму 3 к раз-

ности [j(x) - g(x)] по сегменту [ха - ~, ха +~] и учесть, что

из сходимости в точке ха тригонометрических рядов функций g(x) вытекает сходимость в этой точке и триго­

нометрического ряда Фурье функции f (х). Теорема доказана.

Теорема 10.14 не устанавливает конкретного вида условий, обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье

функции f(x) в точке ха. Она лишь доказывает, что эти усло­ вия определяются только поведением f (х) в как угодно малой окрестности точки ха (т. е. имеют л о к а л ь н ы й характер).

5. Равномерная сходимость тригонометрического ря­

да Фурье для функции из класса Гёльдера. В этом и в следующем пунктах мы займемся уточнением условий, обеспе­

чивающих равномерную сходимость и сходимость в данной точ­

ке тригонометрического ряда Фурье. Докажем следующую основную теорему.

Теоре,м,а 10.15. Еслu функ:'Цuя f(x) nрuнадле:жuт на сег­

,менте [-п, п] к:лассу Гёлъдера са с к:ак:и,м угодно nоло:жuтелъ­

ны,м nок:азателе,м СУ (О < СУ ~ 1) u еслu, к:ро,ме того, f( -п) = = f(п), то трuгоно,метрu'Ческ:uй ряд Фуръе функ:'Цuu f(x) схо­

дuтся (к: этой функ:'Цuu) равно,мерно на сег,менте [-п, п].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как обычно, будем считать, что функ­

ция f (х) периодически (с периодом 2п) продолжена на всю бес­ конечную прямую. Условие f( -п) = f(п) обеспечивает принад­

лежность так продолженной функции классу Гёльдера са на

всей бесконечной прямой.

Пусть х-любая точка сегмента [-п, п]. Умножая обе час­ ти равенства (10.56) на f(x) и вычитая полученное при этом

номера n и любого х из сегмента [-К, к]

Отсюда на основании (10.70) для любого номера n и любого х

из сегмента [-к, к]

Второй из интегралов в правой части (10.71) с помощью кусоч­ но-непрерывной на сегменте [-К, К] функции (10.67) записыва­

ется в виде

В силу следствия 4 из п. 3 правая часть последнего равенства

сходится к нулю (при n --+ 00) равномерно относительно х на сегменте [-К, К]. Поэтому для фиксированного нами Е > О най­

для всех n ~ N 1 и всех х из сегмента [-К, К].

ДЛЯ оценки последнего интеграла в правой части (10.71) за­ метим, что с помощью кусочно-непрерывной функции (10.67)

§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 349

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, схо­

дится к нулю (при n ----7 (Х)) в силу все того же следствия 4 из п. 3 (достаточно применить это следствие к функции f (х) == 1). Учитывая также, что функция f(x) во всяком случае ограни­ чена на сегменте [-К, К], мы получим, что для фиксированного

нами произвольного G > О найдется номер N 2 такой, что

для всех n ? N 2 и всех х из сегмента [-к, к].

Обозначив через N наибольший из двух номеров N 1 и N 2 , мы

получим в силу (10.71)-(10.74), что для фиксированного нами

произвольного G > О найдется номер N такой, что

ISn(x, 1) - f(x)1 < G

для всех n ? N и всех х из сегмента [-К, К]. Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, что в условиях теоремы 10.15

тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно не только

на сегменте [-к, к], но и равномерно на всеи беС'х;оне"lнои nря­ мои (к функции, являющейся периодическим (с периодом 2к) продолжением f (х) на всю бесконечную прямую).

3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что при оценке интегралов (10.73) и (10.74) мы использовали лишь кусочную непрерывность (и вытекающую из нее ограниченность) функции f (х) на сегменте [-К, К] (принадлежность f(x) классу Гёльдера при оценке этих интегралов не использовалась).

3 а м е ч а н и е 3. Естественно возникает вопрос о том, можно ЛИ в теореме 10.15 ослабить требование гладкости на функцию f(x), сохраняя

утверждение этой теоремы о равномерной на сегменте [-7Г, 7Г] сходимости тригонометрического ряда Фурье функции f(x).

Напомним, что принадлежность f(x) на сегменте [-7Г, 7Г] классу Гёль­ дера са ПО определению означает, что модуль, непрерывности f(x) на этом

сегменте имеет порядок

w(5, f) = О(5а ).

Отметим без доказательства так называемую т е о р е м у Д и н и-л и п­ ш и Ц а, которая утверждает, что для равн,омерн,оu н,а сегмен,те [-7Г, 7Г]

сходимости тригон,ометричеС'J{;ого ряда Фур'Ье фун,'J{;'Ции f(x) достаточн,о, чтобы эта фун,'J{;'Ция удовлетворяла условию f(-7Г) = f(7Г) и чтобы ее мо­ дул'Ь н,еnрерывн,ости н,а сегмен,те [-7Г, 7Г] имел nорядо'J{;

w(5, f) = 0(_1_).

lп 1/5

т. е. являлся бесконечно малой при 5 --+ О величиной более высокого поряд­

ка, чем 1/Оп 1/5).

Теорема Дини-Липшица содержит окончательное (в терминах модуля непрерывности функции) условие равномерной сходимости тригонометри­ ческого ряда Фурье этой функции, ибо можно построить функцию f(x), удовлетворяющую условию f(-Jr) = f(Jr) С модулем непрерывности, имею­ щим на сегменте [-7Г, 7Г] порядок О(1/(lп 1/5)) и с тригонометрическим ря­

дом Фурье, расходящимся на множестве точек, всюду плотном на сегменте

[-7Г,7Г] 1).

в условиях теоремы 1О.15 после периодического (с перио­ дом 2п) продолжения функция f(x) оказывалась принадлежащей

классу Гёльдера ей 'На всей бесnо'Не'Ч,'Ной прямой. Естественно

возникает вопрос о поведении тригонометрического ряда Фурье

функции f(x), принадлежащей классу Гёльдера ей тольnо 'На

'Неnотором сегме'Нте [а, Ь], а всюду вне этого сегмента удовлет­

воряющей лишь обычному требованию кусочной непрерывности.

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теоре,м,а 10.16. Пусть фу'Нn'Ция f( х) nусо'Ч,'Но-'Неnрерыв'На

'На сегме'Нте [-п, п] и nериоди'Ч,есnи (с периодом 2п) nродолже­

'На 'На всю бесnо'Не'Ч,'Ную прямую. Пусть далее 'На 'Неnотором сег­

ме'Нте [а, Ь], имеющем дли'Ну, ме'Ньшую 2п, эта фу'Нn'Ция nри­

'Надлежит nлассу Гёльдера ей с nроизволь'Ным nоложитель­

'Ным nоnазателем а (О < а :::;; 1). Тогда для любого 8 из и'Нтерва-

ла О < 8 < Ь - а триго'Нометри'Ч,есnий ряд Фуры фу'Нn'Ции f(x)

2

сходится (n этой фу'Нn'Ции) рав'Номер'Но 'На сегме'Нте [а+8, Ь-8]. Доказательство. Построим функцию g(x), которая на

сегменте [а, Ь] совпадает с f(x), на сегменте [Ь, а + 2п] явля-

Уется линейной функцией вида

Ах + В, обращающейся в f (Ь)

ной по ней функции g(x)).

1) Доказательство теоремы Дини-Липшица и построение только что ука­

занного примера можно найти, например, в книге А. Зигмунда «Тригоно­