Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

.pdf

Скачиваний:

740

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

14.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4726 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

{Ek }

§ 4

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

251

мы на множестве Е и nринимают nо'Ч,ти всюду на Е 'Коне'Ч,

ные зна'Ч,енил. Тогда, если nоследователъностъ {fn(x)} сходит

сл 'к f(x) по мере на множестве Е, то из этой nоследова

телъности можно выlелитъъ nоследователъностъ, сходлщуюсл 'к f(x) nо'Ч,ти всюду на Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, мы можем

предположить, что функции fn(x) и f(x) принимают конечные значения не почти всюду, а всюду на Е (в противном случае

мы ввели бы те же множества А и Аn , что и при доказательстве

предыдущей теоремы, и проводили бы все рассуждения для мно-

жества Е\А\nQl Аn). Из сходимости иn(х)} К f(x) по мере на

множестве Е вытекает, что для любого номера k найдется но

мер nk такой, что для меры множества E k = Е [If - fnk 1 ? l/k]

справедливо неравенство IEk 1 :::;; 1/2k. Положим, как и при дока-

	00	00
зательстве предыдущей теоремы, Rn = U Ek, R =		n Rn. Тог-
	k=n	n=l	00
да в силу свойства внешней меры (см. п. 1 § 2) IRnl :::;;			L IEkl,
	00		k=n
	00
так что IRnl :::;; L 1/2k = 1/2n - 1 . Таким образом,		IRnl	-+ О при
	k=n
n -+ 00. Как и в предыдущей теореме, доказывается, что IRn 1				-+
-+ IRI при n -+ 00. Тем самым мы получаем, что IRI =			о.
Остается доказать, что всюду вне R подпоследовательность
{fnk (х)}	сходится к f( х). Пусть х - произвольная точка Е \			R.
Тогда х не принадлежит множеству R N при некотором N				=
= N (х).	Но это означает, что х не принадлежит	E k	при k	?
? N(x).	Иными словами, If(x) - fnk(X)1 < l/k при k		? N(x).

Теорема доказана.

§4. Интеграл Лебега

1.Понятие интеграла Лебега от ограниченной функ ции. Назовем раз б и е н и е м измеримого множества Е всякое

семейство Т конечного числа измеримых и попарно непересе

кающихся подмножеств E 1 , Е2 , ... ,Еn множества Е, состав ляющих в сумме множество Е.

ДЛЯ обозначения разбиения множества Е будем использо

вать символ Т = {Ek}k=l или более краткий символ Т = {Ek}.

Рассмотрим на измеримом множестве Е конечной меры про

извольную ограниченную функцию f (х). Для произвольного разбиения Т = множества Е обозначим символами M k

и mk соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани

{Ek }

252	МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА			ГЛ.8
функции f(x)	на частичном множестве E k		и введем в рассмо
трение две суммы
	n	n
	k=l	k=l
называемые соответственно в е р х н е й		и	н и ж н е й	суммами
разбиения Т =	{Ek}.			{Ek }
Сразу же отметим, что для любого разбиения Т =				{Ek }
	ST :::;; ST.			(8.22)

Для любой ограниченной на множестве конечной меры Е

функции f (х) как множество всех верхних сумм {ST}, так и множество всех нижних сумм {ST} (отвечающих всевозможным разбиениям Т = множества Е) ограничено. Поэтому су ществует точная нижняя грань множества {ST}, которую мы

обозначим символом 1 и назовем		в е р х н и м	и н т е г р а л о м
Л е б е г а,	и точная верхняя грань множества {ST }, которую мы
обозначим	символом I и назовем н и ж н и м		и н т е г р а л о м
Л е б е г а.
Оnреде.ле1-tuе. Огршн.и'Ч,енна-я		на множестве 1\;оне'Ч,ной ме

ры Е фУН1\;'Ци-я f (х) называетс-я и н т е г р и р у е м о й (n о Л е-

б е г у) на этом множестве, если I = 1, т. е. если верхний и

нижний интегралы Лебега этой фУН1\;'Ции совпадают.

При этом 'Ч,исло I = 1 называетс-я и н т е г р а л о м Л е

б е г а от фУН1\;'Ции f (х) по множеству Е и обозна'Ч,аетс-я сим-

волом

J f(x) dx.

Остановимся на некоторых свойствах верхних и нижних сумм и верхних и нижних интегралов Лебега.

Договоримся называть разбиение Т* = {En~1 и з м е л ь-

ч е н и е м	разбиения Т = {Ek}k=l' если для любого номера i
(i = 1, 2,	... , т) найдется номер v(i), удовлетворяющий нера

венствам 1 :::;; v(i) :::;; n и такой, что Е; содержится в Ev(i).

Номер v( i) может оказаться одним и тем же для различных

номеров i, причем сумма множеств Е; по всем номерам i, для

которых v(i) равняется одному и тому же номеру k, равна, оче

видно, множеству E k , т. е.u Е; = E k ·			(8.23)
v(i)=k
Далее договоримся называть разбиение	Т	{Ei }	про И з-
в е Д е н и е м разбиений Т = {E~l)} и Т		(2)	~
в е Д е н и е м разбиений Т = {E~l)} и Т		{Eq	}, если т
1	2

§ 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 253

состоит из множеств E i , представляющих собой пересечения все

возможных пар множеств E~l) и E~2), т. е. если каждое E i рав но E~l) nE~2), причем перебираются всевозможные комбинации

номеров р и q.	~
Очевидно, произведение Т двух разбиений Т			и Т являет
		1	2
ся измельчением каждого из разбиений Т		и Т (причем любое
	1	2

другое разбиение Т, являющееся измельчением как Т1 , так и Т2 ,

само является измельчением Т).

Справедливы следующие свойства верхних и нижних сумм

и верхних и нижних интегралов.

1О. Если разбиение Т* является измеЛЪ"lением разбиения Т,

то ST :::;; Sp, ST* :::;; ST.

Д О К а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство для в е р х

н и х сумм (ибо для нижних сумм оно проводится совершенно

аналогично). Пусть Т*= {Е! }~1 является измельчением разбие ния Т = { Еk} k=l' и пусть M i* - точная верхняя грань f( х) на мно

жестве Е! (i = 1, 2, ... , т), а Mk - точная верхняя грань f(x) на множестве Ek (k = 1, 2, ... , n).

По	определению измельчения для каждого номера i (i =
= 1, 2,	... , т) найдется отвечающий ему номер v(i), удовлетво

ряющий неравенствам 1 :::;; v( i) :::;; n и такой, что Е! содержится

в Ev(i) , причем сумма множеств Е! по всем номерам i, для ко

торых v(i) равно одному и тому же номеру k, удовлетворяет равенству (8.23). Добавим к этому, что для всех номеров i, для которых v(i) равняется одному и тому же номеру k, справедливо

неравенство

(8.24)

(ибо точная верхняя грань на подмножестве не превосходит точ ную верхнюю грань на всем множестве).

Из определения верхней суммы и из соотношений (8.23) и

(8.24) мы получим, что		1)
ST* = I:Mi*IEil = t		[ L Mi*IEil] :::;;
i=l	k=l	v(i)=k
		:::;; tMk [L IEil] =		tMklEkl = ST.
		k=l	v(i)=k	k=l

1) Мы учитываем, что из (8.23) и из того, что множества Е! попарно не

пересекаются, в силу теоремы 8.8 вытекает, что 2:= IEil = IEkl.

v(i)=k

254	МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	ГЛ.8
	1	2
20.	Для двух совершенно nроизволъных разбиений Т	и Т

справедливо неравенство STl ~ ВТ2·

Д о к а з а ~е л ь с т в о. Пусть Т - произведение разбиений Т1

иТ2 . Так как Т является измельчением каждого из разбиений Т1

иТ2 , то В силу свойства 10 справедливы неравенства

STl ~ ST' ВТ ~ ВТ2·

(8.25)

Из неравенств (8.25) и (8.22) вытекает, что STl ~ ВТ2.

30. Верхний и нижний интегралы Лебега связаны соотно

шение.м. I ~ 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем про и з в о л ь н о е раз

биение Т2. Так как для любого разбиения Т1 (в силу свойства 20) справедливо неравенство STl ~ ВТ2' то число ВТ2' является о д н о й из верхних граней множества {ST1} всех нижних сумм, и,

стало быть, т о ч н а я верхняя грань I указанного множества

удовлетворяет неравенству I ~ ВТ2. Так как последнее неравен

ство справедливо для произвольного разбиения Т2 , то число I

является о Д н о й из нижних граней множества {ВТ2} всех верх-

них сумм, и, стало быть, точная нижняя грань 1 указанного

множества удовлетворяет условию I ~ 1.

Следствие. Всшия функция, интегрируе.м.ая по Ри.м.ану, является интегрируе.м.оЙ по Лебегу, nри'Ч.е.м. интегралыl Лебега и Ри.м.ана от такой функции совпадают.

До к аз ат ел ь с тв о. Пусть f(x) интегрируема на Е = [а, Ь] по Риману (а стало быть, и ограничена на этом сегменте). Обо

значив для такой функции символами I и 1 нижний и верх

ний интегралы Лебега и символами IR и 1R нижний и верхний

интегралы Дарбу (см. гл. 10 вып. 1), мы получим следующие

неравенства 1)

(8.26)

Если функция интегрируема по Риману, то для нее I R = 1R, а

стало быть, в силу (8.26) I = 1, т. е. эта функция интегрируема

по Лебегу. Более того, при I R = 1R из (8.26) вытекают равенства

I R = I = 1 = 1R, т. е. вытекает совпадение интегралов Римана

и Лебега, ибо первый из этих интегралов равен числу I R = 1R,

авторой - числу I = 1.

вследующем пункте мы покажем, что класс функций, инте грируемых по Лебегу, является более широким, чем класс функ-

1) Ибо любое разбиение Е =[а, Ь] на частичные сегменты включается в

класс разбиений множества Е в смысле Лебега.

§ 4

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

255

ций, интегрируемых по Риману. При этом выяснится целесооб разность введения измеримых функций.

2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций. Докажем следующую основную теорему.

Теорема 8.16. Каnово бы ни было измеримое M'I-tQжество Е nоне'Ч'I-tQU меры, вс,я,nа,я, ограни'Ченна,я, и измерима,я, на множе

стве Е Фунn'Ци,я, f(x) интегрируема на этом множестве.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим специальное разбиение мно жества Е, называемое л е б е г о в с к и м. Обозначив через М

и m точные грани f(x) на множестве Е, разобьем сегмент [т, М]

с помощью точек m = Уа < Yl < У2 < ... < Уn = М на частичные

сегменты [Yk-l, Yk]		(k =	1, 2, ... , n) и обозначим через д длину
наибольшего из этих частичных сегментов,					т. е. положим
		д =	шах	(Yk - Yk-l)·
			k=1,2, ... ,n
л е б е г о в с к и м		разбиением множества Е назовем разбиение
Т =	{Ek}k=l' в котором E 1 =			Е [Уа::;; f ::;;	Yl], Ek = Е [Yk-l <
< f	::;; Yk] при k =	2, 3,	... , n.

Пусть ST и ST - верхняя и нижняя суммы, отвечающие лебеговскому разбиению Т и называемые л е б е г о в с к и м и верхней и нижней суммами. Заметим, что для любо

го номера k (k = 1, 2, ... , n) справедливы неравенства

(8.27)

в которых через M k и mk обозначены точные грани f (х) на частичном множестве Ek. Умножая неравенства (8.27) на ме ру IEkl множества E k и после этого суммируя их по всем номе

рам k =	1, 2, ... , n, будем иметь
	n	n
	k=l	k=l
Из полученных неравенств заключаем, что
о::;; ST -	ST::;;
n	n	n
k=l	k=l	k=l
Так как для любого разбиения Т справедливы неравенства
ST ::;; 1 ::;; 1 ::;; ST, то из (8.28)		получим, что
	о::;; 1 - 1 < blEI·		(8.29)

Поскольку д > О может быть фиксировано произвольно малым,

то из (8.29) следует, что 1 = 1. Теорема доказана.

256

МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

ГЛ.8

З а м е ч а н и е 1. В дополнении 2 к этой главе мы докажем,

что измеримость ограниченной на измеримом множестве Е

функции f(x) является не только достаточным, но и необхо

димым условием интегрируемости этой функции по Лебегу на множестве Е.

Замечание 2. Пусть ~k (k = 1,2, ... , n)-произволь

ный элемент частичного множества Ek лебеговского разбие

ния Т. Сумму (JT(~k, f) = L f(~k) ·IEklбудем называть л е б е--

k=l

г о в с к о й и н т е г р а л ь н о й с у м м о й функции f( х). Так

как при произвольном выборе точек ~k на множествах E k эта

сумма заключена между нижней и верхней суммами соответ

ствующего лебеговского разбиения Т, то из неравенства (8.28)

следует, что (УТ(~k, f) (вместе с 8т и ST) стремится при д --+ О к

интегралу Лебега 1 = 1 = Jf (х) dx.

3.	Е
	Свойства интеграла Лебега от ограниченной функ
ции.	J1 dx = 1 Е1.
1О.

Для доказательства достаточно заметить, что для функции f (х) == 1 как верхняя, так и нижняя сумма любого разбиения Т

множества Е равна 1 Е1·

20. Если фун'Х:'Ци.я. f (х) ограни'Чена и интегрируе.м.а на .м.но

JlCecmBe Е 'Х:оне'Чноu .м.еры и а - любое вещественное 'Число, то

и фун'Х:'Ци.я. [а . f (х)] интегрируе.м.а на MHOJlCeCmBe Е, nри'Че.м.

Ла· лх)] dx = а· Jлх) dx.		(8.30)
Е	Е
Д О к а з а т е л ь с т в о.	Для произвольного	разбиения Т =
{ E k } множества Е обозначим верхнюю и нижнюю суммы

функции f (х) символами 8т и ST, а верхнюю и нижнюю суммы

функции [а· лх)] символами 8~a) и s>;). Тогда, очевидно,

8(а) =	{а8т	при	а? о,	s(a) _ {	а· ST	при	а? о,
т	aST	при	а < о,	т -	а . 8т	при	а < о.
							(8.31)

Если обозначить через 1 и 1 верхний и нижний интегралы функ

ции Лх), а через У(а) И 1(а) верхний и нижний интегралы функ

ции [а· Лх)], то из (8.31) следует, что

у(а) = { а· 1	при	а? о,	1(а) = {	а· ~	при	а? о,
а ·1	при	а < о,	-	а . 1	при	а < о.
						(8.32)

§ 4	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	257
в силу интегрируемости 1(х) справедливо равенство
	1 = 1 = J1(х) dx,
	Е
а потому из неравенств (8.32) следует, что при любом СУ
У(а)	= 1(а) = су. J f(x) dx.

Это и означает, что интеграл в левой части (8.30) существует и

что справедливо равенство (8.30).

30. Если nаждая из фу'Нn'Циu i1 (х) и 12 (х) огра'Ни"lе'На и и'Н

тегрируема 'На м'Ножестве nOHe"lHOU меры Е, то и сумма этих

фу'Нn'Циu [J1(X) +12(Х)] и'Нтегрируема 'На м'Ножестве Е, npU"leM

Лi1(Х) + 12(Х)] dx =	J11(Х) dx + J12(Х) dx.		(8.33)
Е	Е	Е

ДО к а з а т е л ь с т в о. Положим f(x) = 11(Х)+12(Х), и пусть

т= {Ek} - произвольное разбиение множества Е. Обозначим для функции 1(х) точные грани на частичном множестве E k че

рез M k и mk, верхнюю и нижнюю суммы разбиения Т через ВТ

и ST, верхний и нижний интегралы Лебега через 1 и 1. Анало

гичные величины для функций 11(Х) и 12(Х) обозначим теми же символами, что и для f(x), но с индексами (1) и (2) соответ

ственно.

Заметим, что тО"l'Ная верх'Няя (тО"l'Ная 'Ниж'Няя) гра'Н'Ь сум мы 'Не бол'Ьше ('Не ме'Н'Ьше) суммы mO"lHblX верх'Них (то"l'ныlx 'Ниж'Них) гра'Неи слагаемых. Отсюда следует, что для любого

номера k

т~1) + т~2) :::;; mk :::;; Mk :::;; M~l) + M~2)

и, стало быть, для любого разбиения Т

(1)	(2)	S		S(l)	+	в(2)
ST	+ ST :::;;	ST:::;;	т:::;; Т			Т .
Из последних неравенств в свою очередь следует, что
1(1) + 1(2)		:::;; 1:::;; 1:::;;		у(1) + у(2).			(8.34)

Так как (в силу интегрируемости i1(х) и 12(Х))

1(1) = у(1) = J11 (х) dx, 1(2) = у(2) = J12(Х) dx,

ЕЕ

то из (8.34) получим, что

1 = 1 = J11 (х) dx + J12 (х) dx.

ЕЕ

Но это и означает, что интеграл в левой части (8.33) существует и что справедливо равенство (8.33).

9 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

258		МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА				ГЛ.8
Следствие. Непосредственно из				20 и 30	вытекает	л и
н е й н о е	с в о й с т в о и н т е г р а л а:			если 'Кажда-я из		фУ'Н'К
'Ции ]1 (х)	и ]2 (х)	огра'Ни'Ч.е'На и и'Нтегрируе.ма			'На .м'Ножестве
'Ко'Не'Ч.'Нои	.меры Е	и	если о: и (3 - nроизвол'Ь'Ные		веществе'Н'Ные
'Ч.исла, то	фу'Н'К'Ци-я		[О:]l(Х) + (3]2 (х)] и'Нтегрируе.ма 'На .м'Ноже
стве Е, nри'Ч.е.м
Ло:Л(х) + (3. ]2(Х)] dx = о: J]l(Х) dx + (3 J]2(Х) dx.
Е			Е	Е
4О. Если фу'Н'К'Ци-я ] (х) огра'Ни'Ч.е'На и и'Нтегрируе.ма 'На 'Каж
до.м из 'Неnересе'Кающихс-я .м'Ножеств				'Ко'Не'Ч.'Нои .меры Е1		и Е2,

то ](х) и'Нтегрируе.ма и 'На су.м.ме Е .м'Ножеств Е1 и Е2, nри
'Ч.е.м
J](х) dx =	J ](х) dx + J ](х) dx.			(8.35)
Е	Еl		Е2
ЭТО свойство обычно называют			а Д Д и т и в н о с т ь ю	интег
рала.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что объединение произволь
ного разбиения Т множества Е		1	и произвольного разбиения Т
1		1		2
множества Е2 образует разбиение Т множества Е = Е1 UЕ2.

Обозначим верхние суммы ] (х), отвечающие разбиениям Т1 , Т2

и Т, соответственно через ST1'	2	ST2 И ST, а нижние суммы ] (х),
1	2
отвечающие разбиениям Т , Т		и Т,	соответственно через ST1'
ST2 И ST. Тогда, очевидно,
ST = STl + ST2'		ST =	STl + ST2·	(8.36)

Обозначим верхний и нижний интегралы функции] (х) на мно

жестве Е1 через у(l) и 1(1), на множестве Е2 через у(2) и 1(2) и

на множестве Е через 1 и 1.

Из равенств (8.36) и из того, что точная верхняя (точная нижняя) грань суммы не больше (не меньше) суммы точных верхних (точных нижних) граней слагаемых, заключаем, что

		(8.37)
Так как	(в силу интегрируемости ](х) на Е1 и на Е2) 1(1) =
= у(l) =	J ](х) dx, 1(2) =	у(2) = J f(x) dx, то из (8.37) получим,
	Еl	Е2
что
	1 = у =	J ](х) dx + J ](х) dx.

Но это и означает, что интеграл, стоящий в левой части (8.35), существует и что справедливо равенство (8.35).

§ 4

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

259

50. Если 1\;ажда.я из фУ'Н1\;'Циu Л(х) и f2(X) огра'Ни'Ч,е'На и и'Н

тегрируема 'На м'Ножестве 1\;о'Не'Ч,'Ноu меры Е и если всюду 'На

этом м'Ножестве Л(х) ? f2(X), то

J fl(X) dx ? J f2(X) dx.

(8.38)

ЕЕ

ДО к а з а т е л ь с т в о. Так как все нижние суммы функции

Р(х) = Л(х) - f2(X) неотрицательны, то I? о. Отсюда следует,

что JР(х) dx = JЛ(х) dx - J f2(X) dx ? о (существование этого

ЕЕ Е

интеграла и написанное нами равенство вытекают из уже дока-

занного нами линейного свойства). Тем самым (8.38) доказано.

4. Интеграл Лебега от неотрицательной неограничен ной функции и его свойства. Теперь мы переходим к опре делению интеграла Лебега для случая, когда измеримая функ

ция f(x) не является ограниченной. Сначала будем с'Ч,итатъ, 'Ч,то f (х) ? о всюду 'На м'Ножестве 1\;о'Не'Ч,'Ноu меры Е.

ДЛЯ любого N > О положим

(J)N(X) =min{N, ЛХ)},	(8.39)
IN(J) = j(J)N(X) dx.	(8.40)
Е

Заметим, что для любой измеримой на множестве Е функ

ции f(x) функция (8.39) также является измеримой 1) и по

тому интеграл (8.40) существует. Отметим также, что из (8.39) и (8.40) вытекает, что IN(f) возрастает с увели'Ч,е'Нием N.

Оnределенuе. Если существует 1\;о'Не'Ч,'Ныu предел IN(f)

при N -+ 00, то фУ'Н1\;'Ци.я f(x)	'Называетс.я суммируемои
(по Лебегу) 'На м'Ножестве Е,	а у1\;аза'н'ныlu предел 'Называетс.я
и 'Н т е г р а л о м от фУ'Н1\;'Ции f (х)		по м'Ножеству Е и обоз'На
'Ч,аетс.я символом JЛХ) dx.
Е
Итак, по определению
JЛХ) dx =	lim	IN(J).
Е	N-+oo

Убедимся в том, что если 'Неотри'Цателъ'На.я 'На м'Ножестве Е

фУ'Н1\;'Ци.я J( х) суммируема 'На этом м'Ножестве, то J( х) мо

жет обращатъс.я в +00 тОЛЪ1\;О 'На nодм'Ножестве Е, имеющем

меру 'НУЛЪ. В самом деле,		положим Ео = Е [j =	+00] и учтем,
1) Ибо для любого вещественного а является измеримым множество
Е [(/)	а] - {	Е [/ > а] при а < N,	N.
N >	-	пустое множество при а ;::	N.

260 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ.8

что из (8.40) и (8.39) (в силу свойств 40 и 50 из предыдущего пункта) вытекает цепочка неравенств

IN(J) = J(J)N(X) dx ?	J(J)N(X) dx ?	J N dx ? NIEol·
Е	Ео	Ео

Но из неравенства IN(f) ? NIEol следует, что предположение IEol > о привело бы к тому, что lim IN(J) был бы равен +00.

N-+oo

Добавим к этому, что вс-яка-я фу'Нхци-я f (х) суммируема на множестве меры нул'Ь. (Этот факт очевиден.)

Переходя к выяснению общих свойств суммируемых функ

ций, прежде всего отметим, что дл-я неотри'Цател'Ьных сумми руемых функ'Ций справедливы свойства 20 -50, установленные в предыдущем пункте дл-я ограни'Ч.енных интегрируемых Функ

'Ций 1).

в качестве примера приведем доказательство свойства 30. Из

(8.39) сразу же вытекают следующие неравенства:

(fl)N/2(X) + (f2)N/2(X) ~ (fl + f2)N(X) ~ (fl)N(X) + (f2)N(X),

справедливые при любом N> О в любой точке х множества Е.

Интегрируя эти неравенства по множеству Е 2) , мы и установим

свойство 30 для произвольных неотрицательных суммируемых

ФУНКЦИЙ!l и f2.

Доказательство для таких функций остальных свойств 20_50

предоставим читателю.

Перейдем к выяснению еще двух фундаментальных свойств произвольных неотрицательных суммируемых функций.

Теоре,м,а 8.17 (свойство пол/ной аддитивности). Пуст'Ь

множество Е nредставл-яет собой сумму с'Ч.етного 'Ч.исла по

парно неnересекающихс-я измеримых множеств E k , т. е. Е =

= U E k · Тогда справедливы следующие два утверждени-я.

k=l

1. Если неотри'Цател'Ьна-я функ'Ци-я f(x) суммируема на мно жестве Е, то f(x) суммируема и на каждом множестве Ek, nри'Ч.ем справедливо равенство

J f(x) dx =	00	J ЛХ) dx.
	L		(8.41)
Е	k=lEk

п. Если неотри'Цател'Ьна-я на множестве Е функ'Ци-я ЛХ)

суммируема на каждом множестве E k и если р-яд в правой 'Ч.а

сти (8.41) сходитс-я, то функ'Ци-я ЛХ) суммируема и на мно жестве Е и дл-я нее справедливо равенство (8.41).

1)Постоянная а в свойстве 20 должна быть при этом неотрицательной.

2)При этом мы используем свойства 50 и 30 для ограниченных интегри

руемых функций.

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4726 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.201510.82 Кб25Ielts letter.docx
#
26.03.201628.11 Кб29IELTS Writing Task 1.docx
#
02.06.2015408.58 Кб88IELTS_Writing.doc
#
26.03.2016706.03 Кб12IFRS in your pocket 2013.pdf
#
02.06.20155.36 Mб55igpzs_krashen_hrestomatiya.pdf
#
02.06.201514.78 Mб740Ilin_Poznyak_-_Matanaliz.pdf
#
26.03.20161.43 Mб9Illyustrirovanny_kurs_po_istorii_menedzhmenta.pdf
#
26.03.2016218.46 Кб6Industrialization_Mass_Consumption_Postindustrial_Society.pdf
#
02.06.201586.53 Кб5inflyatsia.doc
#
26.03.2016732.37 Кб29InMen_-_2012.docx
#
02.06.20151.81 Mб67instek_bilety.doc