Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

332 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10

тригонометрического ряда Фурье функции f(x), так и сходи­ мость этого ряда (в силу следствия 5 из п. 3 § 3) именно к функ­

ции f(x).

В силу признака Вейерштрасса (см. теорему 1.4 из гл. 1) для доказательства равномерной на сегменте [-1Г, 1Г] сходимости ряда (10.41) достаточно доказать сходимость мажорирующего

k=l

Обозначим через ak и Pk тригонометрические коэффициенты

Фурье функции l'(х), доопределив эту функцию произвольным

образом в конечном числе точек, в которых не существует про-

изводная функции j (х) 1).

Производя интегрирование по частям и учитывая, что функ­

ция f(x) непрерывна на всем сегменте [-1Г, 1Г] И удовлетворяет соотношениям j (-1Г) = j (1Г), мы получим следующие соотно­

шения, связывающие тригонометрические коэффициенты Фу-

и для доказательства сходимости ряда (10.42) достаточно дока­

зать сходимость ряда

(10.43)

1) Например, можно положить функцию f' (х) в указанных точках равной

полусумме правого и левого предельных значений.

2) При интегрировании по частям следует разбить сегмент [-К, К] на ко­

нечное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов,

на каждом из которых производная f'(x) непрерывна, и, беря формулу ин­

тегрирования по частям для каждого из этих частичных сегментов, учесть,

что при суммировании интегралов по всем частичным сегментам все под­

становки обратятся в нуль (вследствие непрерывности f(x) на всем сегменте

[-К, К] и условий f(-K) = f(K)).

Сходимость ряда (10.43) вытекает из элементарных неравенств 1)

первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для ку­

сочно-непрерывной функции j' (х), а второй - в силу интеграль­ ного признака Коши-Маклорена (см. вып. 1, гл. 13, § 2). Теорема

доказана.

3 а м е ч а н и е. Если функцию j (х), удовлетворяющую усло­ виям теоремы 10.11, периодически (с периодом 2к) продолжить

на всю бесконечную прямую, то теорема 10.11 будет утверждать

сходимость тригонометрического ряда Фурье к так продолжен­ ной функции, равномерную на всей беС'х;оне'Чной прямой.

3. Простейшие условия почленного дифференциро­ вания тригонометрического ряда Фурье. Прежде всего до­ кажем следующую лемму о порядке тригонометрических коэф­ фициентов Фурье.

Лемма 1. Пусть фУН'Х:'И,ИЯ лх) И все ее nроизводные до не'Х:оторого nоряд'Х:а m (т - 'И,елое неотри'И,ательное 'Число) не­ nрерывнъ! на сегменте [-К, К] И удовлетворяют условиям

Пусть, 'Х:роме того, фУН'Х:'И,ИЯ лх) имеет на сегменте [-К, К] 'Х:усо'Чно-неnрерывную nроизводную nоряд'Х:а (т + 1). Тогда схо­

дится следующий ряд:

336 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10

в самом деле, из теоремы Лагранжа 1) вытекает, что для

любых точек х' и х" сегмента [а, Ь] найдется точка ~, заключен­ ная между х' и х" И такая, что

дется постоянная М такая, что для всех х из этого сегмента

If'(x)1 ::;; м и, стало быть, 1f'(~)1 ::;; М. Из последнего неравен­ ства и из (10.49) заключаем, что If(x') - f(x") I ::;; М15 дЛЯ всех х' и х" из [а, Ь], удовлетворяющих условию Ix'- x"l < 15. Но это

зателем СУ (О < СУ ::;; 1), если модуль 'Неnрерыв'Ности фУ'Н1>:'Ции f(x) 'На сегме'Нте [а, Ь] имеет nорлдО1>: ш(15, f) = О(l5а ).

Для обозначения того, что функция f(x) принадлежит на

сегменте [а, Ь] классу Гёльдера са, обычно употребляют симво­

лику: f(x) Е са[а, Ь].

Сразу же отметим, что если функция f(x) дифференцируема на сегменте [а, Ь] и ее производная ограничена на этом сегменте, то эта функция заведомо принадлежит на сегменте [а, Ь] классу

Гёльдера с1 2) (это утверждение непосредственно вытекает из

доказанного выше соотношения w(15, f) = о(15) ).

Замечание. Пусть f(x) Е са[а, Ь]. Точную верхнюю грань

дроби If(x') - f(x/l)1 на множестве всех х' и х", принадлежащих

Ix'- x/ll '"

сегменту [а, Ь] и не равных друг другу, называют к о н с т а н­ той Гёльдера (или коэффициентом Гёльдера) функции f(x) (на сегменте [а, Ь]). Сумму константы Гёльдера

функции f(x) на сегменте [а, Ь] и точной верхней грани If(x)1 на

этом сегменте называют г ё л ь Д е р о в о й н о р м о й функции f(x) на сегменте [а, Ь] и обозначают символом IlflICa[a,bj'

При м ер. Функция f (х) = vгx принадлежит на сегменте [О, 1]

классу С1/2 , ибо для любых х' и х" из [О, 1], связанных условием

х' > х", справедливо неравенство If(x') - f(x") I = ух'- х" х

~~~--~

х- ::;; ух'-х" (при этом константа Гёльдера,

#+R

к л а с с о м Л и п ш и Ц а.

§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 337

ух' -х"

являющаяся точной верхней гранью на [О, 1] дроби # R'

х' + х"

равна единице, а гёльдерова норма равна двум).

2. Выражение для частичной суммы тригонометри­

ческого ряда Фурье. Пусть f(x) - произвольная кусочно-глад­ кая на сегменте [-1Г, 1Г] функция. Эту функцию мы периодиче­

ски (с периодом 21Г) продолжим на всю бесконечную прямую 1) .

Обозначим через Sn(x, f) частичную сумму тригонометрическо­ го ряда Фурье функции f (х) в точке х, равную

k=l

Вставляя в правую часть (10.50) значения коэффициентов

Фурье 2)

ао = ;: J1г f(y) dy,

и учитывая линейные свойства интеграла, мы получим, что для

любой точки х бесконечной прямой

ция f(x) в каждой точке х обязана иметь значение, равное полусумме пра­

вого и левого предельных значений. Чтобы это свойство имело место и

для функции Лх), периодически (с периодом 27Г) продолженной на всю

бесконечную прямую, мы должны потребовать, чтобы для продолженной

функции имело место соотношение f(K) = f( -1Г) = ~[f(-7Г + О) + f(Jr - О)].

Иными словами, мы назовем определенную на бесконечной прямой функ­

цию f (х) пер и о Д и ч е с к и м про Д о л ж е н и е м кусочно-непрерывной

на сегменте [-7Г, 7Г] функции f(x), если обе эти функции совпадают на ин­

тервале -7Г < х < 7г И если определенная на бесконечной п]JЯМОЙ функ­

ция f(x) удовлетворяет условию периодичности f(x + 27Г) = лх) И условию f(Jr) = f( -1Г) = ~[f(-7Г + О) + f(Jr - О)].

2) См. формулы (10.23).

2k=l

Спериодом 2п, то вся подынтегральная функция в (10.51) (обоз­

начим ее кратко через F(t)) является периодической функцией t с периодом 2п. Заметим также, что интегрирование в (10.51) идет по сегменту [-п - х, п - х], имеющему длину, равную 2п,

т. е. равную периоду подынтегральной функции. Воспользуем­ ся следующим элементарным у т в е р ж Д е н и е м: если F(t) - интегрируемал по любому ,/ине"lНОМУ сегменту nериодИ"lес'/ил функцил периода 2п, то все интегралы от этой функции по лю­ бому из сегментов, имеющих длину, равную периоду 2п, равны между собой, т. е. длл любого х

Равенство (10.52) позволяет нам следующим образом переписать формулу (10.51)

Вычислим сумму, стоящую в (10.53) в квадратных скобках. Для

этого заметим, что для любого номера k и любого значения t

1) Для доказательства этого утверждения достаточно, пользуясь свойст-

-?Г-Х

и заметить, что с помощью условия периодичности F(t) = F(t + 211") И заме­

ны переменной t = У - 211" первый из указанных трех интегралов приводится к третьему, взятому со знаком минус. Действительно,

§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 339

справедливо равенство

2 sin ~ cos kt = sin ( k + ~)t - sin ( k - ~)t.

Суммируя это равенство по всем номерам k, равным 1, 2, ... , n,

получим

n

2 sin ~ . L cos kt = sin ( n + ~)t - sin ~.

k=l

Отсюда

2 sin ~[~+ t cos kt] = sin ( n + ~)t

k=l

и, стало быть,

sin(n + ~)t

(10.54)

2 Sl. п -t

2

Подставляя (10.54) в (10.53), мы окончательно получим следую­

щее выражение для частичной суммы тригонометрического ря­

да Фурье:

справедливое в любой точке х бесконечной прямой.

Замечание. Из формулы (10.55) и из того, что все ча-

3. Интегральный модуль непрерывности функции.

Пусть функция f(x) интегрируема (в смысле собственного инте­ грала Римана) на сегменте [-1Г, 1Г]. Эту функцию мы периоди­ чески (с периодом 21Г) продолжим на всю бесконечную прямую.

Оnределе'Н,ие. Для любого д из nолусегме'Нта О < д :::;; 21Г

'На MHO;JfCeCmBe всех 'Чисел и, удовлетворяющих условию lиl :::;; д.

1) Ибо величина (10.55) для функции f(x) == 1 равна сумме (10.50), в

которой ао = 2, ak = bk = О при k = 1, 2, ...

менте [-п, п] и nepuoaU"lec'X:u (с периодом 2п) nродол;жена на

6СЮ бес'Х:оне"lНУЮ прямую, то интегральныi1 модуль неnрерыl-­

ности этой фун'Х:'Ции на у'Х:азанном сегменте I(д, f) стремит­

ся 'Х: нулю при д --7 О.

Доказательство. Фиксируем произвольное [ > О. Со­

гласно теореме 10.10 (о замкнутости тригонометрической сис­ темы) для функции f(x) найдется тригонометрический много­ член Т(х) такой, что

Из неравенства (10.57) и из того, что f(t) и T(t) являются перио­

дическими функциями периода 2п, заключаем, что для любого

числа и

-1Г

Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит суммы

модулей этих величин, то для любого числа и справедливо нера­

венство

Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригоно­

метрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему 10.2

1) См. неравенство (1.33).