Ilin_Poznyak_-_Matanaliz
.pdf§ 4 |
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА |
261 |
|
Доказательство. 1) Сначала докажем теоремы 1 и II |
|
для о г р а н и ч е н н о й неотрицательной интегрируемой функ
ции f(x). Пусть существует постоянная М такая, что f(x) ~ М
|
R n = |
00 |
Ek и заметим, что в силу |
всюду на Е. Положим |
U |
||
|
|
k=n+l |
|
00 |
IEkl |
|
|
теоремы 8.8 IRnl = L |
-7 о |
(при n -7 (0). Но тогда на |
|
k=n+l |
|
|
|
основании свойств 40, 50 и 10 |
|
|
|
|
00 |
J f (х) dx ~ М |
J dx = МIR n I -7 О |
J f (х) dx - L J f( х) dx = |
|||
Е |
k=lEk |
R n |
R n |
(при n |
-7 (0). Последнее соотношение доказывает теоремы 1 и |
||
IIдля случая ограниченной интегрируемой функции.
2)Докажем теперь теорему 1 для произвольной неотрицатель
ной суммируемой функции. Суммируемость f(x) на каждом E k
сразу же вытекает из неравенства |
J (f)N(X) dx |
~ J(f)N(X) dx |
и из неубывания по N интеграла |
E k |
Е |
в левой его |
части. Остает |
ся доказать равенство (8.41). С помощью доказанного в п. 1) инеравенства (!) N (х) ~ f( х) получим
|
00 |
|
00 |
J f(x) dx. |
|
J(f)N(X) dx = |
L |
J(f)N(X) dx ~ L |
(8.42) |
||
Е |
k=lEk |
k=lEk |
|
||
Переходя в последнем неравенстве к пределу при N -7 00, будем |
|||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
J f(x) dx. |
|
|
J f(x) dx ~ L |
(8.43) |
||||
Е |
|
k=lEk |
|
|
|
С другой стороны, в силу свойств, доказанных в предыдущем пункте, для любого номера m
|
00 |
|
|
m |
J (f)N(X) dx, |
J(f)N(X) dx = L |
J (f)N(X) dx ? L |
||||
Е |
k=lEk |
|
k=lEk |
||
И устремляя в последнем неравенстве сначала N к 00, а уж затем |
|||||
m к 00, |
мы получим неравенство |
|
|
||
|
J f(x) dx ? |
00 |
J f(x) dx, |
|
|
|
L |
|
|||
|
Е |
|
k=lEk |
|
|
которое в соединении с (8.43) доказывает (8.41).
3) Докажем, наконец, теорему II для произвольной неотри
цательной суммируемой функции. Заметим, что достаточно
266 |
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА |
ГЛ.8 |
сти {!n (х)} на |
множестве Е, ибо из (8.46) |
вытекает, что |
lim J fn(x) dx = |
J f(x) dx. |
|
n---+оо Е |
Е |
|
Заметим, что если последовательность измеримых и сум
мируемыlx на мно:жестве Е фун'Х:'Ций {!n (х)} сходитс-я 'Х: изме римой и суммируемой на Е фун'Х:'Ции f(x) в L(E), то иn(х)} сходитс-я 'Х: f(x) и по мере на Е.
В самом деле, фиксировав произвольное Е > О И обозначив
через Еn множество Е [If - |
fnl > Е], будем иметь |
J Ifn(x) - f(x)1 dx ? |
J Ifn(x) - f(x)1 dx ? EIEnl, |
Е |
Еn |
так что из (8.46) следует, что IEnl -7 О при n -7 00.
Таким образом, сходимость по мере на Е является более сла
бой, чем сходимость в L(E) (и, как уже установлено выше, более слабой, чем сходимость почти всюду на Е).
Докажем, однако, что при дополнительных предположениях
из сходимости по мере на Е будет следовать сходимость в L(E).
Теоре,м,а 8.19 (теоре,м,а Лебега). Если последователь
ность измеримых на мно:жестве Е фун'Х:'Ций {fn(x)} сходитс-я
'Х: измеримой на Е фун'Х:'Ции f(x) по мере на Е и если существу ет суммируема-я на мно:жестве Е фун'Х:'Ци-я Р(х) та'Х:а-я, 'Ч.то
дл-я всех номеров n и nо'Ч.ти всех то'Ч.е'Х: Е справедливо неравен
ство Ifn(x)1 ::;; Р(х), то последовательность иn(х)} сходитс-я
'Х: f(x) в L(E).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала убедимся, что предельная
функция f(x) сама удовлетворяет почти всюду на Е неравен ству 1 f( х) 1 ::;; F (х). Из теоремы 8.15 вытекает, что из после довательности {!n (х)} можно выделить подпоследовательность {fnk(x)} (k = 1,2, ... ), сходящуюся к f(x) почти всюду на Е. Переходя внеравенстве 1 f nk (х) 1 ::;; F (х) к пределу при k -7 -700, мы и получим, что If(x)1 ::;; Р(х) для почти всех точек Е.
Из доказанного нами неравенства и из мажорантного признака
суммируемости неотрицательной измеримой |
функции (см. ко |
|||
нец п. 4) |
следует, что f(x) с у м м и р у е м а |
на Е. |
||
Фиксировав произвольное Е > О И обозначив через Еn мно- |
||||
жество Е [If - |
fnl > Е], будем иметь |
1) |
|
|
JI f (х) - |
f n (х) 1 |
dx = J 1 f( х) - f n (х) 1 |
dx + J |
1 f (х) - f n (х) 1 dx ::;; |
Е |
|
Еn |
Е\Еn |
|
|
|
|
::;; J Р(х) dx + EIEI· |
|
|
|
|
|
Еn |
1) Мы учитываем при этом, что Ifn(x) - f(x)1 ~ 2Р(х) почти ВСЮДУ на Е.
§ 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 267
Из этого неравенства и из произвольности G > О вытекает, что
для установления сходимости иn(х)} К f(x) В L(E) достаточно доказать, что lim J Р(х) dx = О, но это сразу вытекает из тео-
n---+оо Еn
ремы 8.18* об абсолютной непрерывности интеграла и из того,
что по условию IEnl --+ О при n --+ 00. Теорема доказана.
С.ледствие (теорема Лебега о nреде.лы-/'ом переходе под З1-/,аnом и1-/,тегра.ла). Если последовательность измери
мых на мно;жестве Е фун'Х:'И,ий {!n (х)} сходитсл nо'Чти всюду
на Е 'Х: предельной фун'Х:'И,ии f(x) и если существует суммируе мал на мно;жестве Е фун'Х:'И,ил F (х) та'Х:ал, 'Что длл всех номе
ров n и nо'Чти всех то'Че'Х: Е справедливо неравенство Ifn(x)1 ~ ~ Р(х), то f(x) суммируема на Е и
lim Jfn(x) dx = |
J f(x) dx. |
(8.47) |
n---+оо Е |
Е |
|
Д О к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 8.13 вытекает измери
мость f(x) на множестве Е. После этого достаточно заметить, что из сходимости почти всюду на Е вытекает (в силу теоремы 8.14) сходимость по мере на Е, и привлечь теорему 8.19.
Теорема 8.20 (теорема Б. Леви). Пусть 'Х:а;ждал ФУН'Х: 'И,ил fn(x) измерима и суммируема на мно;жестве Е, и пусть
длл всех номеров n и длл nо'Чти всех то'Че'Х: мно;жества Е спра
ведливо неравенство fn(x) ~ fn+1(x). Пусть далее существу
ет nостолннал М та'Х:ал, 'Что длл всех номеров n справедливо
неравенство IJ fn(x) dxl ~ М. Тогда длл nо'Чти всех то'Че'Х: х из
Е
мно;жества Е существует 'Х:оне'Чный предел lim fn(x) = f(x),
n---+оо
при'Чем nредельнал фун'Х:'И,ил f (х) суммируема на мно;жестве Е
исправедливо равенство (8.47).
До к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, можно
считать, что все fn(x) н е о т р и Ц а т е л ь н ы почти всюду на Е
(иначе вместо fn(x) мы взяли бы неотрицательные функции gn(x) = fn(x) - fl(X)). Так как последовательность иn(х)} не
убывает почти всюду на Е, то почти во всех точках Е определе
на предельная функция f (х), которая принимает в этих точках
либо конечные значения, либо значения, равные +00. Если мы докажем, что эта предельная функция суммируема на множе
стве Е, то из этого будет следовать, что f(x) почти всюду на Е
имеет к о н е ч н ы е значения, т. е. будет следовать сходимость
последовательности {fn(x)} к f(x) почти всюду на Е, а отсюда и из неравенства fn(x) ~ f(x) (почти всюду на Е), в
силу следствия из предыдущей теоремы, будет вытекать равен
ство (8.47).
268 |
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА |
ГЛ.8 |
|
Итак, для доказательства теоремы достаточно установить |
|||
суммируемость предельной функции f(x) на множестве Е. |
|
||
Заметим, |
что для любого |
N > О последовательность 1) |
|
{(fn)N(X)} сходится к (f)N(X) |
почти всюду на Е, причем огра |
||
ниченная функция (!) N(Х) суммируема на Е и для всех номе ров n и почти всех точек Е справедливо неравенство (fn) N(Х) ~
~ (f)N(X).
ЭТО обеспечивает применимость к последовательности
{(fn)N(X)} следствия из предыдущей теоремы, в силу которого
lim J(fn)N(X) dx = |
J(f)N(X) dx. |
n---+оо Е |
Е |
Из этого соотношения и из неравенства 2)
J fn(x) dx ? J(fn)N(X) dx
ЕЕ
заключаем, что
lim |
J fn(x) dx ? |
J(f)N(X) dx, |
|
n---+оо Е |
Е |
|
|
и поскольку J fn(x) dx ~ М для всех номеров n, то и |
|
||
Е |
|
|
|
|
J(f)N(X) dx ~ М. |
(8.48) |
|
|
Е |
|
|
Из неравенства (8.48) |
и из неубывания по N интеграла в левой |
||
части этого равенства вытекает существование предела |
|
||
lim J(f)N(X) dx,
n---+оо Е
которое и означает суммируемость f (х) на множестве Е. Теоре
ма доказана.
Сформулируем теперь теорему 8.20 в терминах функцио
нального ряда (в таком виде эта теорема имеет широкое при менение).
Если 1и;жда-я фун.'Х:'И,и-я иn(х) н.еотри'И,ателън.а nо'Чти всюду
н.а мн.о;жестве Е, измерима и суммируема н.а этом мн.о;же
стве и если сходитс-я р-яд
00
L Jиn(х) dx,
n=l Е
1)Напомним, что для любого N > О и для любой функции Р(х) мы пола
гаем (F)N(X) = min{N, Р(х)}.
2)Это неравенство следует из того, что (fn)N(X) = min {N, fn(X)}.
270 |
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА |
ГЛ.8 |
7. Классы Лебега LP(E). Напомним, что линейное про |
||
странство |
R называется н о р м и р о в а н н ы м, |
если выпол |
нены следующие два требования: 1) известно правило, посред
ством которого ка1КДОМУ элементу 1 пространства R ставится
в соответствие вещественное число, называемое нормой этого
элемента и обозначаемое символом 111I1 R , 2) указанное правило
удовлетворяет следующим трем аксиомам:
10. |
11111 R > о, если 1 i= о 1), 11111 R = о, если 1 = о. |
20. |
II л111R = IЛI·11111R дЛЯ любого элемента 1 и любого веще |
ственного числа л. |
|
30. |
Для любых двух элементов 1 и g справедливо так назы |
ваемое |
н е р а в е н с т в о т р е у г о л ь н и к а 111 + g11 R ~ 11111 R + |
+ IlglIR ·
Будем рассматривать в линейном нормированном простран
стве R произвольную последовательность элементов {1n}.
Оnределенuе 1. Последовательность {1n} элементов ли
нейного нормированного пространства R называетс-я Ф у Н д а м е н т а л ь Н О 'Й, если
lim 111т - 1nllR = о.
т~n n---+оо
Оnределенuе 2. Говор-ят, 'Что последовательность {1n}
элементов линеuного нормированного пространства R с х о
д и т с -я в R к элементу этого пространства 1, если
Еm |
111n - 1II R = о. |
n---+оо |
|
Такого рода сходимость называют еще с х о Д и м о с т ь ю п о |
|
н о р м е или с и л ь н о й |
с х о Д и м о с т ь ю в R. |
Легко доказать, что вс-яка-я сход-яща-яс-я в R последователь |
|
ность элементов {1n} всегда -явл-яетс-я фундаментальноU. В
самом деле, если существует некоторый элемент 1 такой, что
111n - 111 R ---+ о при n ---+ (Х), то из неравенства треугольника
сразу 1Ке следует, что
Естественно возникает вопрос о том, является ли всякая фун
даментальная последовательность элементов {1n} сходящейся
вR к некоторому элементу 1 пространства R.
1)о обозначает нулевой элемент линейного пространства R