Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

1. Вычислим интеграл

00

1 = Jx 1/ 4 (1 + х)-2 dx.

О

Обращаясь к формулам (9.44) и (9.48), очевидно, получим

3. Обратимся к интегралу

7Г/2

I p - 1 = J sinp- 1 ер dep.

о

Используя результат, полученный в примере 2 (надо положить q = 1), найдем

Имеем далее

г(~) = J00 е-Х~ = 2 J00 е-(у'х)2 dvГx·

чим, согласно примеру, рассмотренному в п. 2 § 4 гл. 3 (интеграл Пуассона)

г(~) = VК.

304 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9

то существует строго положительная при х > -1 функция h (х)

такая, что справедливо равенство

g2(x) = x2h(x).

Функция h(x) является бесконечно дифференцируемой при

х > -1, следовательно, бесконечно дифференцируемой будет и

функция g(x) = xJh(x).

Учитывая вышенаписанное, можно утверждать, что для функ­

ции у = g(x), определенной равенством (9.60), существует обрат-

ная функция х = g-l(y), строго возрастающая и бесконечно

дифференцируемая на всей числовой прямой и удовлетворяю­

щая условию g-l (О) = о.

Обозначим эту обратную функцию символом х = с.р(у). Ис­

пользуя указанные выше ее свойства, найдем асимптотику ин­

теграла (9.62). Справедлива следующая теорема.

Теоре,м,а 9.13. Пустъ фу'Н/х;'Цuя х = с.р(у) является обрат­ н.ой. 1>: фун.1>:'ЦUU У = g(x), оnределен.н.оiJ. равен.ством (9.60). Тогда для uн.теграла (9.62) nри любом фU1>:сuрован.н.ом н.омере n сnра­

ведлuва следующая асuмnтотu'Ч,еС1>:ая формула:

Для оценки первого интеграла заметим, что при -1 < х < Ь

выполняется неравенство g(x) < -а, т. е. g2(x) > а2 и, следова­

тельно,

е-Лg2 ( х) < е-Ла2 .

в таком случае

Аналогично оценивается интеграл 12(Л). При х > с выпол­

няется неравенство g(x) > а, т. е. g2(x) > а2 . Следовательно,

при л > 1 их> с имеет место оценка

е-Лg2(х) = e-(Л-1)g2(Х)е-g2 (х) < е-(Л-1)а2 e- g2 (x).

с

Из оценок (9.66) и (9.67), которым удовлетворяют интегралы (9.65), мы получаем для интеграла (9.62) следующее соотношение:

-а

Поскольку функция <p'(t) является бесконечно дифференци­

руемой, воспользовавшись формулой Маклорена, представим ее

в виде

2n-l

<р'(t) = ""'rp (k+l) (О) t k + О(t 2n ).

~ k! k=O

Для получения формулы (9.64) остается применить лемму к

функции J(t) = <p'(t). Теорема 9.13 доказана.

В заключение этого параграфа укажем следующий простой

способ вычисления производных <p(k)(o). Из равенства (9.63) мы

получаем

Из этого равенства вытекает соотношение

<p'(t) = ~ = 2g 1 + rp(t) = 2t 1 + rp(t).

Последовательно дифференцируя это равенство и полагая t = о,

мы определим все производные <p(k) (о). Найдем для примера

значения первых трех производных функций <p(t) В нуле. Продифференцировав (9.70), получим

Выпишем первые пять членов асимптотического разложения

гамма-функции Эйлера:

Отметим без доказательства, что остаток асимптотического

ряда не превосходит последнего удерживаемого слагаемого.

§6. Кратные интегралы, зависящие от параметров

1.Собственные кратные интегралы, зависящие от па­

раметров. Пустьх = (хl, Х2, ... , хт) - произвольная точка об­

ласти D т-мерного евклидова пространства Ет , а у = (Уl, У2, ...

. .. , Yl) - точка области s1 пространства E l . Обозначим симво­

лом D х s1 подмножество (l + т)-мерного евклидова простран­ ства, состоящее из всех точек Z = (Zl, Z2, ... , Zm+l) таких, что

точка (Zl, Z2, ... , Zm) принадлежит D, а точка (Zm+l, Zm+2, ...

... , Zm+l) принадлежит S1. При этом мы будем часто исполь­ зовать обозначение Z = (х, у) Е D х S1. Замыкание области D

мы будем обозначать символом D. Легко видеть, что замыкание

D х s1 совпадает с D х S1.

Пусть f(x, у) -функция, определенная в D х S1, причем для любого уа Е s1 функция f (х, У) интегрируема по х в области D.

D

определенную в области S1, будем называть интегралом, зави­ сящим от параметра у. Заметим, что параметр у является

[-мерным вектором и, следовательно, интеграл (9.74) зависит от

[ числовых параметров Уl, У2, ... , Yl·

В полной аналогии с теоремами 9.9-9.12 доказываются сле­

дующие теоремы.

Теорема 9.14 (о непрерывности интегра.ла (9.74) по параметру). Если фун'Х:'Ция Лх, у) непрерывна по сово'Х:уnности

аргументов в зам'Х:нутоi1 области D х Q, то интеграл (9.74)

представляет собоi1неnрерывную фун'Х:'Цию параметра у в обла­

сти Q.

Теорема 9.15 (об интегрировании интегра.ла (9.74)

по параметру). Если фун'Х:'Ция Лх, у) непрерывна по сово'Х:уnно­

сти аргументов в зам'Х:нутоi1 области D х Q, то фун'Х:'Цию

(9.74) MO;JfCHO интегрировать по параметру под зна'Х:ом интег­ рала, т. е. справедливо равенство

JI(y) dy = J dx JЛх, у) dy.

!1 D!1

Теорема 9.16 (о дифференцируемости интегра.ла (9.74)

по параметру). Если фун'Х:'Ция f(x, у) И ее 'Частная nроизвод-

ная.!!.L непрерывны в D х Q, то интеграл (9.74) имеет в облас­

aYk

дI

ти Q непрерывную 'Частную nроизводную - , nри'Чем сnравед­ aYk

ливо равенство J

~ = af(x, У) dx. aYk aYk

D

2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров. Понятие несобственного кратного интеграла, за­ висящего от параметров, можно было бы ввести так же, как

ив предыдущем пункте, для случая, когда подынтегральная

функция f(x, у) определена в D х Q , где D с Ет и Q с E l .

Однако наибольший интерес представляет случай D = Q, кото­ рый и будет нами изучен. Кроме того, мы будем предполагать,

что f(x, у) = F(x, у) g(x), где F(x, у) непрерывна при х # у в D х D, а функция g(x) ограничена в D. Таким образом, мы

рассматриваем интегралы вида

D

где подынтегральная функция может иметь особенности лишь при х = у. Нас будет интересовать вопрос о непрерывности ин­

тегралов вида (9.75) по параметру у. В связи с этим введем сле­ дующее определение равномернои сходимости интеграла (9.75)

вто'Ч'Х:е. Символом К(Уо, 6) мы будем обозначать шар радиуса 6

сцентром в точке уо.

З08 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9

Оnреде.ле1-tuе. Интеграл (9.75) назовем с х о д я Щ и м с я

равномерно по параметру У в то'Чnе Уо Е D, если

для любого Е> О можно уnазатъ 6 > О таnое, 'Что К(Уо, 6) с D

и для любоil. nубируемоil. области w с К(Уо, 6) и всех то'Чеn У Е Е К(уо, 6) выполняется неравенство

I!F(x, y)g(x) dxl < Е.

Теоре,м,а 9.17. Если интеграл (9.75) сходится равномерно

по У в то'Чnе уо Е D, то он непрерывен в то'Чnе уо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что для любого

Е > О найдется 6 > О такое, что при Iy - Yol < 6 выполняется

неравенство IV (у) - V (Уо) I < Е. ИЗ определения равномерной

сходимости в точке следует существование такого 61 > О, что

К(Уо, 61) с D и при У Е К(Уо, 61)

Далее заметим, что при х Е D \ К(Уо, 61) и У Е К(Уо, 61/2)

функция F(x, У) будет равномерно непрерывной по совокупно­

сти аргументов. Следовательно, найдется положительное чис­

ло 6 < 61/2 такое, что при Iy - Yol < 6 будет выполняться нера­

венство

IF(x, Уо) - F(x, y)1 < E/(3MIDI),

где М - константа, ограничивающая функцию g, и IDI- объем области D. В таком случае, при Iy - Yol < 6

Теорема доказана.

которого совпадает с направлением вектора РоМ. Считая I = 1

и массу m = 1, получим силу тяготения

F = _то r.

R2

Отметим, что компоненты этой силы имеют вид

Очевидно, что потенциал силы тяготения, определяемый как скалярная функция U такая, что F = grad и, равен

то И=-.

R

Если масса сосредоточена не в точке Ро(х, у, z), а распределена

D

Z=- 111р(Х~~'Z)((-z)dХdУdz.

D

Нетрудно показать, что интегралы (9.84) представляют со­ бой частные производные потенциала (9.83). Поскольку подын­ тегральные функции в интегралах (9.83) и (9.84) мажорируются

функцией ~, где л = 1 для интеграла (9.83) и л = 2 для интег-

Ю,

ралов (9.84), то в силу теоремы 9.18 указанные интегралы схо­ дятся равномерно в каждой точке M(~, 7], (). Следовательно, по

теореме 9.17 эти интегралы представляют собой непрерывные

функции точки M(~, 7], ().